Matematyka.pl

\(\displaystyle{ (x^2+1)(y'^2-yy'')=xyy'}\)
podstawiłam \(\displaystyle{ y'=yz}\)i\(\displaystyle{ y''=y(z^2+z')}\) i niby dobrze ale nie wyszło mi \(\displaystyle{ y=C _{2} (x+ \sqrt{x^2+1})^C}\)


\(\displaystyle{ x^2yy''-x^2y'^2+2xyy'-y^2=0}\)

i ostatnie

\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx} -9x^2y+3(x^5-x^2) \sqrt[3]{y^2} =0}\)

za pomoc przy którymkolwiek będę wdzięczna

Pierwsze:
Skorzystajmy z faktu, iż \(\displaystyle{ - y^2 \frac{\mbox{d}}{\mbox{d}x} \! \left( \frac{y'}{y} \right) = y'^2 - yy''}\)
podstawiając do równania, jest
\(\displaystyle{ -(x^2 + 1) y^2 \frac{\mbox{d}}{\mbox{d}x} \! \left( \frac{y'}{y} \right) = x yy'}\)
Zakładając, że y się nie zeruje i podstawiając t=y'/y, mamy:
\(\displaystyle{ -(x^2 + 1) t' = x t \iff \frac{y'}{y} = \frac{C_1}{\sqrt{1+x^2}}}\)
Dalej już prosto:
\(\displaystyle{ \ln |y| = C_1 \mbox{arcsinh} \, x + C_2}\)
Ostatecznie
\(\displaystyle{ y = \boxed{\mbox{exp} \left\{ C_1 \mbox{arcsinh} \, x + C_2 \right\} }}\)

Spróbuj podobnie pokombinować w drugim, a w razie problemów napisz.

dzięki, ale:

luka52 pisze:\(\displaystyle{ - y^2 \frac{\mbox{d}}{\mbox{d}x} \! ft( \frac{y'}{y} \right) = y'^2 - yy''}\)

skąd bierze się takie podstawienie ?

Z du** A tak poważnie to w tego typu przypadkach po prostu trzeba kombinować co po zrożniczowaniu da nam y'^2 - yy'', etc.
Zresztą nawet miałaś podane podstawienie - y' = zy a stąd \(\displaystyle{ z = \frac{y'}{y}}\) i \(\displaystyle{ z' = \frac{yy'' - y'^2}{y^2}}\) nieco przekształcić i gotowe.