Witajcie
Mam problem z rozwiązaniem następującego zadania - konkretnie totalnie niewiem jak się za nie zabrać :/
Treść zadania:
\(\displaystyle{ y'' + 3y' +2y = f(t) ;~~~~~ y(0)=0 ,~~~~~ y'(0)=-2 ~~~~~
gdzie:\\
f(t) =\begin{cases} 2, ~~~~~ 0 \le t < 6\\ t, ~~~~~6\le t < 10\\4, ~~~~~t \ge 10 \end{cases} }\)
Wiem że trzeba obliczyć transformatę Laplace'a funkcją Heaviside', ale nie mam pojęcia jak to zrobić, przeglądałem poprzedni temat z podobnym problemem, ale niewiem jak go wykorzystać w przypadku 3 funkcji dla f(t)
Problem poczatkowy przy użyciu transformaty Laplace’a
-
Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4106
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 82 razy
- Pomógł: 1410 razy
Re: Problem poczatkowy przy użyciu transformaty Laplace’a
Można zapisać \(\displaystyle{ f(t)}\) za pomocą jedynki Heaviside'a mianowicie:
\(\displaystyle{ f(t)=2H\left( 6-t\right)+t \cdot \left(H\left(10-t\right)-H\left( 6-t\right) \right) +4H\left( t-10\right) }\)
wtedy z własności transformaty mamy:
\(\displaystyle{ \left( \mathscr{L}f\right) \left( s\right) = \frac{e^{-10 s} \left(-10 s+e^{10 s}-1\right)}{s^2}-\frac{e^{-6 s} \left(-6 s+e^{6 s}-1\right)}{s^2}+\frac{2 \left(1-e^{-6 s}\right)}{s}+\frac{4 e^{-10 s}}{s}}\)
wynik ten bieżę się ze wzoru na transformatę \(\displaystyle{ f(t-a)H(t-a)\mapsto e^{-as}\left( \mathscr{L}f\right) \left( s\right)}\). Można też po prostu policzyć z definicji:
\(\displaystyle{ \left( \mathscr{L}f\right) \left( s\right)= \int_{0}^{ \infty }f(t)e^{-st} \dd t=\int_{0}^{ 6 }2e^{-st} \dd t+\int_{6}^{ 10 }te^{-st} \dd t+\int_{10}^{ \infty }4e^{-st} \dd t }\)
\(\displaystyle{ f(t)=2H\left( 6-t\right)+t \cdot \left(H\left(10-t\right)-H\left( 6-t\right) \right) +4H\left( t-10\right) }\)
wtedy z własności transformaty mamy:
\(\displaystyle{ \left( \mathscr{L}f\right) \left( s\right) = \frac{e^{-10 s} \left(-10 s+e^{10 s}-1\right)}{s^2}-\frac{e^{-6 s} \left(-6 s+e^{6 s}-1\right)}{s^2}+\frac{2 \left(1-e^{-6 s}\right)}{s}+\frac{4 e^{-10 s}}{s}}\)
wynik ten bieżę się ze wzoru na transformatę \(\displaystyle{ f(t-a)H(t-a)\mapsto e^{-as}\left( \mathscr{L}f\right) \left( s\right)}\). Można też po prostu policzyć z definicji:
\(\displaystyle{ \left( \mathscr{L}f\right) \left( s\right)= \int_{0}^{ \infty }f(t)e^{-st} \dd t=\int_{0}^{ 6 }2e^{-st} \dd t+\int_{6}^{ 10 }te^{-st} \dd t+\int_{10}^{ \infty }4e^{-st} \dd t }\)