Matematyka.pl

Oto zrobię zadanie 11.76 z drugiej części Krysickiego, uprzejmie prosiłbym o wskazanie błędów/powodów rozbieżności w wyniku z odpowiedzi na końcu książki.

\(\displaystyle{ x - y + (2y - x) \frac{dy}{dx} = 0}\)

\(\displaystyle{ P(x,y) = x - y => \frac{ \partial P}{ \partial y} = -1}\)

\(\displaystyle{ Q(x,y) = 2y - x => \frac{ \partial Q}{ \partial x} = -1}\)

Równanie jest równaniem zupełnym.

Układam dwa równania z warunków:

1. \(\displaystyle{ \frac{ \partial F}{ \partial x} = P(x,y) = x - y}\) skąd:

\(\displaystyle{ F(x,y) = \frac{1}{2} x^{2} - xy + C(y)}\)

2. \(\displaystyle{ \frac{ \partial F}{ \partial y} = Q(x,y) = 2y - x}\)

Przyrównuję \(\displaystyle{ \frac{ \partial F}{ \partial y}}\) do pochodnej funkcji \(\displaystyle{ F(x,y)}\) otrzymanej z całkowania równania 1. Pochodna ta po zmiennej y (Czemu po "y"? Czy dlatego, że mamy C(y), a nie C(x)? ) wynosi:

\(\displaystyle{ C'(y) - x}\)

Więc przyrównuję:

\(\displaystyle{ 2y - x = C'(y) - x}\)

Skąd:

\(\displaystyle{ C'(y) = 2y}\)

Zaś:

\(\displaystyle{ C(y) = y^{2}}\)

Co daje:

\(\displaystyle{ F(x,y) = \frac{1}{2} x^{2} + y^{2} - xy}\)

Więc rozwiązaniem równania różniczkowego zupełnego jest rodzina krzywych:

\(\displaystyle{ F(x,y) = C}\)

A przynajmniej tak nam podała pani profesor.

Natomiast w Krysickim odpowiedź brzmi:

Rozwiązaniem równania jest rodzina krzywych:

\(\displaystyle{ x^{2} + y^{2} - 2xy = 0}\)

1. Dlaczego przyrównali do zera, a nie do C?

2. Dlaczego F(x,y) wyszła mi inaczej?

W kolejnych zadaniach również widzę, że w odpowiedziach, albo przyrównują do zera, albo do C. Dlaczego?-- 9 mar 2012, o 10:43 --

Dlatego, że Wy mechanicznie myślicie, a nie rozumiecie, co to jest różniczka zupełna- poczytać.