Matematyka.pl

W ramach kinematyki w STW chyba funkcjonuje pewna nieścisłość odnośnie kierunku prostopadłego.

w związku z tym mam pytanie w postaci dwóch scenariuszy:

1. wersja pierwsza:

\(\displaystyle{ u = (0,v_y)}\)
^ - tu leci wystrzelony pocisk z rakiety - wzdłuż osi \(\displaystyle{ y}\)
|
|
O---> \(\displaystyle{ v = v_x}\) - rakieta leci wzdłuż \(\displaystyle{ x}\)

2.
...\(\displaystyle{ u = (v_x,v_y)}\)
...^ - tu leci wystrzelony pocisk z rakiety - równo z rakietą
../
./
O---> \(\displaystyle{ v = v_x}\) - tak leci rakieta

który z tych dwóch przypadków ilustruje prostopadły wystrzał z rakiety?

Ponadto: jakie są finalne prędkości pocisku w obu przypadkach:
\(\displaystyle{ u' = (v (+) u) = ?}\)

[analogicznie do składania prędkości w przypadku współliniowym, gdzie: \(\displaystyle{ u' = frac{v+u}{1+uv}}\)

Fibik pisze:W ramach kinematyki w STW chyba funkcjonuje pewna nieścisłość odnośnie kierunku prostopadłego.

Dokładnie taki sam problem można postawić w szkolnej mechanice newtonowskiej. Pytanie podstawowe: jak określamy kierunki ruchu? Jeśli chcemy określić kąt pod jakim się do siebie poruszają dwa ciała to zwykle jest to kąt między kierunkami ich prędkości.

1. wersja pierwsza:

\(\displaystyle{ u = (0,v_y)}\)
^ - tu leci wystrzelony pocisk z rakiety - wzdłuż osi \(\displaystyle{ y}\)
|
|
O---> \(\displaystyle{ v = v_x}\) - rakieta leci wzdłuż \(\displaystyle{ x}\)

W tym przypadku kierunki prędkości są prostymi prostopadłymi, więc można powiedzieć, że w tym układzie odniesienia kierunki ruchu pocisku i rakiety są do siebie prostopadłe. Jest oczywistym, że jeśli zmienimy układ odniesienia (nawet w mechanice newtonowskiej), to odpowiedź może ulec zmianie.

2.
...\(\displaystyle{ u = (v_x,v_y)}\)
...^ - tu leci wystrzelony pocisk z rakiety - równo z rakietą
../
./
O---> \(\displaystyle{ v = v_x}\) - tak leci rakieta

W tym przypadku kąt jaki tworzy kierunek prędkości pocisku z kierunkiem ruchu rakiety jest dany przez \(\displaystyle{ \tg\alpha=\frac{v_y}{v_x}}\).

który z tych dwóch przypadków ilustruje prostopadły wystrzał z rakiety?

Podejrzewam, że zakładając ten temat w tyle głowy miałeś to, że w sytuacji drugiej jeśli przejdziemy do układu związanego z rakietą, to skłonni będziemy powiedzieć, że w tym układzie odniesienia kierunek ruchu pocisku jest prostopadły (w domyśle liczony od kierunku poziomego w rakiecie). No zgadzam się i nie widzę żadnej nieścisłości, a już szczególnie związanej z STW. Po prostu omawiany kąt jest wielkością zależną od układu odniesienia. Tak w STW jak i mechanice nierelatywistycznej (rysunek z tego posta świetnie to ilustruje).

Ponadto: jakie są finalne prędkości pocisku w obu przypadkach:
\(\displaystyle{ u' = (v (+) u) = ?}\)

"Finalne prędkości" czyli podejrzewam, że prędkości mierzone w układzie związanym z rakietą. Niech rakieta porusza się w układzie inercjalnym prezentowanym na obu rysunkach w kierunku osi \(\displaystyle{ OX}\) z prędkością \(\displaystyle{ v}\). Mamy zestawy wzorów:
- w mechanice nierelatywistycznej:

\(\displaystyle{ u'_x=u_x-v\\
u'_y=u_y}\)

- w STW:

\(\displaystyle{ u'_x=\frac{u_x-v}{1-\frac{u_xv}{c^2}}\\
u'_y=\frac{u_y\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}{1-\frac{u_xv}{c^2}}}\)

Przypadek 1

-nierelatywistycznie:
\(\displaystyle{ u'_x=-v\\
u'_y=v_y}\)

Kierunek ruchu pocisku tworzy kąt dany przez zależność \(\displaystyle{ \tg\alpha=\frac{v_y}{-v}}\).

-relatywistycznie:
\(\displaystyle{ u'_x=-v\\
u'_y=v_y\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\)
Kierunek ruchu pocisku tworzy kąt dany przez zależność \(\displaystyle{ \tg\alpha=\frac{v_y}{-v}\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\).

Przypadek 2

-nierelatywistycznie:
\(\displaystyle{ u'_x=0\\
u'_y=u_y}\)

Kierunek ruchu pocisku można uznać za prostopadły.

-relatywistycznie:
\(\displaystyle{ u'_x=0\\
u'_y=\frac{u_y\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}{1-\frac{v^2}{c^2}}=\frac{u_y}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}}\)

Ponownie kierunek ruchu można uznać za prostopadły. Nieścisłości nie widać. Prostopadłość jest względna.