Matematyka.pl

Witam. Pomoże ktoś z tym zadaniem?

Satelity GPS poruszają się z prędkością orbitalną \(\displaystyle{ V_s = 3870\:\frac{m}{s}}\) , natomiast prędkość liniowa Ziemi na równiku wynosi \(\displaystyle{ V_z = 465\:\frac{m}{s}}\) . Proszę wyliczyć różnicę czasu między zegarem satelity oraz zegarem ziemskim w ciągu \(\displaystyle{ 24\:h}\) , wynikającą ze Szczególnej Teorii Względności. Wzór proszę wyprowadzić.

Z zadaniem tym związana jest ciekawostka, mianowicie wniosek wynikający z STW jest przeciwny niż wniosek wynikający z ogólnej teorii względności.

Czyli? Mógłbyś podpowiedzieć jak zabrać się za to zadanie?

pasman pisze:(...) mianowicie wniosek wynikający z STW jest przeciwny niż wniosek wynikający z ogólnej teorii względności.

Aha.

Cóż, pytanie podstawowe: te \(\displaystyle{ 24\:h}\) to mierzone w układzie Ziemi? Bo to najsensowniejsze się wydaje.
No więc tak: ustalamy inercjalny układ odniesienia w którym to układzie punkt na równiku Ziemi oraz satelita poruszają się po okręgach z podanymi w treści prędkościami liniowymi.
Czas własny mierzony przez odpowiednie zegary dany jest wzorem:

\(\displaystyle{ \tau=\int_0^t\sqrt{1-\frac{v^2(t)}{c^2}}\textsf{d}t}}\)

gdzie \(\displaystyle{ t}\) to czas współrzędnościowy związany z wybranym przez nas układem odniesienia.
W przypadku ruchu ze stałą wartością prędkości daje to całkiem prosty wzór:
\(\displaystyle{ \tau=\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} t}\)
Dla tego zadania mamy:
\(\displaystyle{ \tau_{GPS}=\sqrt{1-\frac{v^2_{GPS}}{c^2}} t\\
\tau_{Ziemia}=\sqrt{1-\frac{v^2_{Ziemia}}{c^2}} t}\)
gdzie \(\displaystyle{ \tau_{Ziemia}=24h}\) , a \(\displaystyle{ t}\) jest zbędną niewiadomą.
Masz obliczyć \(\displaystyle{ \tau_{GPS}-\tau_{Ziemia}}\) .

AiDi pisze:gdzie \(\displaystyle{ \tau_{Ziemia}=24h}\) , a \(\displaystyle{ t}\) jest zbędną niewiadomą.

Raczej: \(\displaystyle{ t}\) obliczone z drugiego równania należy podstawić do pierwszego.

pasman pisze:Z zadaniem tym związana jest ciekawostka, mianowicie wniosek wynikający z STW jest przeciwny niż wniosek wynikający z ogólnej teorii względności.

Strzelam: ale nie ze względu na prędkość, tylko odległość od masy (tu: Ziemi). Jeśli tak, to \(\displaystyle{ t}\) obliczone z drugiego równania przed podstawieniem do pierwszego należy dodatkowo „przeskalować”.

\(\displaystyle{ t}\) wyznaczone z drugiego należy podstawić do pierwszego, owszem, co nie zmienia faktu, że jest to niewiadoma "zbędna", tzn. treść zadania nie wymaga od nas znajomości jej wartości liczbowej.

SlotaWoj pisze:Strzelam: ale nie ze względu na prędkość, tylko odległość od masy (tu: Ziemi). Jeśli tak, to \(\displaystyle{ t}\) obliczone z drugiego równania przed podstawieniem do pierwszego należy dodatkowo „przeskalować”.

Jeśli brać OTW pod uwagę, to drugie równanie nie będzie już takiej postaci, bo trzeba będzie zmodyfikować całkę od której zaczęliśmy:
\(\displaystyle{ \tau=\frac{1}{c}\int_0^t\sqrt{g_{\mu\nu}\dot{x^\mu}\dot{x^\nu}}\textsf{d}t}\)
gdzie \(\displaystyle{ g}\) jest odpowiednim tensorem metrycznym.

AiDi pisze:Jeśli brać OTW pod uwagę, to drugie równanie ...

A dlaczego tylko drugie?
Wydaje mi się, że dla tego zadania zależność \(\displaystyle{ \tau=\frac{1}c}\int_0^t\sqrt{g_{\mu\nu}\dot{x^\mu}\dot{x^\nu}}\textsf{d}t}\) można przedstawić w prostszej postaci, z której będzie wynikać zależność \(\displaystyle{ t_{GPS}=f(t_{Ziemia},R_Z,R_{GPS})}\) , bo zarówno powierzchnia Ziemi jak i satelita poruszają się po torach prostopadłych do kierunków, wzdłuż których zmienia się wywołana przez Ziemie krzywizna czasoprzestrzeni.

SlotaWoj pisze:A dlaczego tylko drugie?

Bo napisałeś:

SlotaWoj pisze:Jeśli tak, to \(\displaystyle{ t}\) obliczone z drugiego równania (...)

i tak się na tym "drugim równaniu" zatrzymałem i tak wyszło Pierwsze oczywiście też się zmieni.

SlotaWoj pisze: Wydaje mi się, że dla tego zadania zależność \(\displaystyle{ \tau=\frac{1}c}\int_0^t\sqrt{g_{\mu\nu}\dot{x^\mu}\dot{x^\nu}}\textsf{d}t}\) można przedstawić w prostszej postaci, z której będzie wynikać zależność \(\displaystyle{ t_{GPS}=f(t_{Ziemia},R_Z,R_{GPS})}\)

Oczywiście, że można, tylko żeby to zrobić trzeba poczynić pewne założenia dotyczące tego w jaki sposób będziemy modelować sytuację. Ty pisząc to:

SlotaWoj pisze: bo zarówno powierzchnia Ziemi jak i satelita poruszają się po torach prostopadłych do kierunków, wzdłuż których zmienia się wywołana przez Ziemie krzywizna czasoprzestrzeni.

zakładasz, że Ziemia spoczywa, a zegar "sunie" po jej powierzchni z odpowiednią prędkością, czyli zakładasz geometrię Schwarzschilda. Można też założyć powolny obrót Ziemi i pobawić się przybliżeniem metryki Kerra dla takiego obrotu. W rzeczywistym systemie GPS bierze się poprawki na obrót Ziemi i stosuje kilka różnych przybliżeń.