Matematyka.pl

Wyznaczyć zbiór wartości wyrażenia \(\displaystyle{ 2x+y}\) gdy \(\displaystyle{ 1 \le x^2+y^2 \le 3}\).

Przejście na współrzędne biegunowe przekształca funkcję \(\displaystyle{ f(x,y)=2x+y}\) na \(\displaystyle{ f(r, \alpha )=2r\cos \alpha +r\sin \alpha }\) dla \(\displaystyle{ 1 \le r \le \sqrt{3} }\). Skoro na okręgu o promieniu \(\displaystyle{ r}\) funkcja \(\displaystyle{ f(\alpha )=r(2\cos \alpha +\sin \alpha) }\) przyjmuje wartości od \(\displaystyle{ -r \sqrt{5} }\) do \(\displaystyle{ r \sqrt{5} }\) to zbiorem wartości \(\displaystyle{ f}\) jest \(\displaystyle{ \left\langle - \sqrt{15} ; \sqrt{15}\right\rangle }\)