Matematyka.pl

a) Rozważamy funkcje \(\displaystyle{ \y=y(x)}\) i \(\displaystyle{ z=z(x)}\) określone układem równań

\(\displaystyle{ \ln y+y\ln z+xz=0 \\ x-y+z=0}\)
i takie, że \(\displaystyle{ y(0)=z(0)=1}\). Obliczyć pochodne \(\displaystyle{ y'(0)}\) i \(\displaystyle{ z'(0)}\).


Rozwiązanie:
Różniczkujemy oba równania układu
\(\displaystyle{ \ln y+y\ln z+xz=0}\)
\(\displaystyle{ &x-y+z=0}\)
stronami, pamiętając, że\(\displaystyle{ y=y(x)}\) i \(\displaystyle{ z=z(x)}\). Mamy
\(\displaystyle{ y'\frac 1y+y'\ln z+y\frac {z'}{z}+z+xz'=0}\) \(\displaystyle{ 1-y'+z'=0}\)
W punkcie (0,1,1) otrzymujemy układ równań
\(\displaystyle{ y'(0)+z'(0)=-1}\)
\(\displaystyle{ y'(0)+z'(0)=-1}\)
Ostatecznie \(\displaystyle{ y'(0)=0}\) i \(\displaystyle{ z'(0)=-1}\).

Rozwiązanie pochodzi z: ... _warunkowe.


Pytanie:
Dlaczego możemy różniczkować równanie stronami? Kiedy w ogóle możemy taką czynność wykonać? Nie rozumiem tego, przecież jak zróżniczkujemy np równanie \(\displaystyle{ 12x-3=0}\) to otrzymujemy sprzeczność.

Niech \(\displaystyle{ F(x,y,z)=\ln y+y\ln z+xz}\) i \(\displaystyle{ G(x,y,z)=x-y+z}\).

Twoje dwa równania, to: \(\displaystyle{ F(x,y,z)=0}\) i \(\displaystyle{ G(x,y,z)}\).

Rozważamy funkcję \(\displaystyle{ y=y(x)}\) i \(\displaystyle{ z=z(x)}\) .

Niech \(\displaystyle{ f(x)=F\left( x,y(x),z(x)\right)}\) oraz \(\displaystyle{ g(x)=G\left( x,y(x),z(x)\right)}\) .

Zauważ że dla każdego \(\displaystyle{ x}\) zachodzi \(\displaystyle{ f(x)=g(x)=0}\). Zatem są to funkcje stałe. Jak wiemy pochodna funkcji stałej wynosi \(\displaystyle{ 0}\).

Zatem \(\displaystyle{ f'(x)=g'(x)=0}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ x}\) . Czyli:

\(\displaystyle{ \frac{\mbox{d}}{\mbox{d}x}\left( F\left( x,y(x),z(x)\right) \right)=0}\) oraz

\(\displaystyle{ \frac{\mbox{d}}{\mbox{d}x}\left( G\left( x,y(x),z(x)\right) \right)=0}\) .

A to, jak widać, jest równoważne zróżniczkowaniu równań stronami.

dzięki