Matematyka.pl

Wyznaczyć ekstrema \(\displaystyle{ f(x) = \sqrt{4x-x^3} + \sqrt{x+x^3}}\) gdy \(\displaystyle{ 0 \le x \le 2.}\)

\(\displaystyle{ f'= \frac{4-3x^2}{2\sqrt{4x-x^3}} + \frac{1+3x^2}{2\sqrt{x+x^3}} }\)
W zadanym przedziale drugi składnik jest zawsze dodatni, a pierwszy dla \(\displaystyle{ 0< x< \frac{2}{ \sqrt{3} } }\).
Szukane ekstrema mogą być tylko dla \(\displaystyle{ \frac{2}{ \sqrt{3} } \le x \le 2}\)
WK
\(\displaystyle{ \frac{3x^2-4}{2\sqrt{4x-x^3}} = \frac{1+3x^2}{2\sqrt{x+x^3}} \\
(3x^2-4)^2(1+x^2)=(3x^2+1)^2(4-x^2) \\
18(x^2)^3-45(x^2)^2-31x^2+12=0 \\
18(x^2-3)(x^2-( \frac{ -\sqrt{41}-3 }{12}))(x^2-( \frac{ -\sqrt{41}-3 }{12})) =0
}\)
Tylko \(\displaystyle{ x= \sqrt{3} }\) spełnia założenia i jest tam maksimum.

Dla mnie jest tylko to jedno ekstremum, lecz dziś niektórzy traktują wartości na końcach przedziału podobnie i widzą tam dwa minima.