Matematyka.pl

\(\displaystyle{ f(x) = x^2}\), \(\displaystyle{ P = (0, 0)}\), półprosta = \(\displaystyle{ \{ (x, x) : x \ge 0 \}}\) (dla \(\displaystyle{ C=P}\) sformułowanie "prosta \(\displaystyle{ PC}\)" nie ma sensu).

...przy założeniu że \(\displaystyle{ P \notin \{ A, B \}}\), a także bez straty ogólności \(\displaystyle{ P = (0, 0)}\) i \(\displaystyle{ 0 < a < b}\).

Na przedziale \(\displaystyle{ [a, b]}\) funkcja \(\displaystyle{ g(x) = \frac{f(x)}{x}}\) spełnia założenia twierdzenia Rolle'a, więc istnieje \(\displaystyle{ c \in (a, b)}\), takie że \(\displaystyle{ g'(c) = 0}\). Po uproszczeniu oznacza to, że \(\displaystyle{ f'(c) = \frac{f(c)}{c}}\), czyli \(\displaystyle{ C = (c, f(c))}\) jest taki jak trzeba.

\(\displaystyle{ f(x) =-x^2+4}\)
\(\displaystyle{ P=(-3,0)}\)
Półprosta: \(\displaystyle{ y=0 }\) dla \(\displaystyle{ x \ge -3}\)
Zapewne chodziło o istnienie innej półprostej wychodzącej z P, że ta jest styczna czy prostej równoległej ?

Zamiana na współrzędne biegunowe jest przekształceniem ciągłym i różniczkowalnym , zatem funkcja ciągła i różniczkowalną - taką pozostaje po zmianie na współrzędne biegunowe. Jeśli chcemy z P wypuszczać półproste , to jak znaleźliśmy jedną określoną punktem P i jakimś kątem do osi , to ta prosta styczna powstaje z obrócenia wyjściowej półprostej o pewien kąt, co w języku współrzędnych biegunowych oznacza przesunięcie jej wzdłuż osi kątowej zatem obrazuje się w ten sposób twierdzenie Lagrange'a o wartości średniej dla funkcji f we współrzędnych biegunowych