Matematyka.pl

Dane jest równanie \(\displaystyle{ y'=(y-1)x}\).
Pytanie tyczy się tego czy istnieje lub nie istnieje rozwiązanie równania spełniającego warunek początkowy \(\displaystyle{ y(1)=2}\).

Do zadania podszedłem w następujący sposób :


\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx} =(y-1)x}\)
po przekształceniu wyszło:
\(\displaystyle{ \frac{dy}{y-1} =xdx}\)
po scałkowaniu obustronnym otrzymałem:
\(\displaystyle{ \ln |y-1|= \frac{1}{2}x ^{2} +C}\)
na koniec doszedłem do rozwiązania(czyli funkcji)
\(\displaystyle{ y=C e^{ \frac{1}{2}x ^{2} } -1}\)

I tu moje pytanie,co dalej ? Podstawiłem warunek początkowy pod otrzymana funkcje i wyszło mi:
\(\displaystyle{ C= \frac{3}{ e^{ \frac{1}{2} } }}\) jest to rozwiązanie szczegółowe,ale jak udowodnić ze istnieje lub nie rozwiązanie tego równania spełniające warunek z samego początku zadania ?

\(\displaystyle{ \ln |y-1|= \frac{1}{2}x ^{2} +C_1\ \Rightarrow \ y=Ce^{\frac{x^2}{2}}+1}\)

\(\displaystyle{ y(1)=2\ \Rightarrow\ C=\frac{1}{\sqrt{e}}\ \Rightarrow \ {\red y=e^{\frac{x^2-1}{2}}+1}}\)