Witam serdecznie
Spotkałem się z zadaniem z którym mam trudności
Może Drodzy Forumowicze mi pomożecie.
Oto one: Treść - Rozwiązać Równanie:
\(\displaystyle{ y'\,+\,y \sin t \,=\, \cos t}\)
Pozdrawiam serdecznie
Równanie do rozwiązania...
-
luka52
- Użytkownik
- Posty: 8601
- Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 47 razy
- Pomógł: 1816 razy
Równanie do rozwiązania...
Rowumiem, że y = y(t)?
Najpierw rówanie:
\(\displaystyle{ \frac{dy}{dt} + y \sin{t}=0\\
\frac{dy}{dt} = - y \sin{t}\\
t{\frac{dy}{y}}= -\int{\sin{t}dt}\\
\ln{|y|} = \cos{t}+C\\
y = Ce^{\cos{t}}}\)
Metodą uzmienniania stałej:
\(\displaystyle{ y = u(t)e^{\cos{t}}\; ; \quad \frac{dy}{dt} = \frac{du}{dt}e^{\cos{t}} - u(t)\cdot (\sin{t}e^{\cos{t}})}\)
Podstawiając do odpowiedniego równania:
\(\displaystyle{ \frac{du}{dt}e^{\cos{t}} - u(t)\cdot (\sin{t}e^{\cos{t}}) + u(t)\cdot (\sin{t}e^{\cos{t}}) = \cos{t}\\
\frac{du}{dt}e^{\cos{t}} = \cos{t}\\
t{du} = t{e^{-\cos{t}}\cos{t}dt}}\)
No i w tym momencie całka z prawej strony jest nieelementarna. Może robię coś źle?
Najpierw rówanie:
\(\displaystyle{ \frac{dy}{dt} + y \sin{t}=0\\
\frac{dy}{dt} = - y \sin{t}\\
t{\frac{dy}{y}}= -\int{\sin{t}dt}\\
\ln{|y|} = \cos{t}+C\\
y = Ce^{\cos{t}}}\)
Metodą uzmienniania stałej:
\(\displaystyle{ y = u(t)e^{\cos{t}}\; ; \quad \frac{dy}{dt} = \frac{du}{dt}e^{\cos{t}} - u(t)\cdot (\sin{t}e^{\cos{t}})}\)
Podstawiając do odpowiedniego równania:
\(\displaystyle{ \frac{du}{dt}e^{\cos{t}} - u(t)\cdot (\sin{t}e^{\cos{t}}) + u(t)\cdot (\sin{t}e^{\cos{t}}) = \cos{t}\\
\frac{du}{dt}e^{\cos{t}} = \cos{t}\\
t{du} = t{e^{-\cos{t}}\cos{t}dt}}\)
No i w tym momencie całka z prawej strony jest nieelementarna. Może robię coś źle?