Matematyka.pl

Mam taka funkcję: \(\displaystyle{ y= (\ln x)^{2}-2\ln x}\)
obiczylam pochodne, dziedzine, wklęsłość, wypukłość itd.
i problem tkwi w tabeli, sprobuje ją jakoś ładnie "rozrysowac"


\(\displaystyle{ \begin{tabular}{cccccccc}x & 0 & ... & e & ... & e^{2} & ... & \infty\\ y^{\prime\prime} & ? & + & + & +& 0 & - & ?\\ y^{\prime}& ? & + & 0 & - & - & - & ?\\ y & ? & ? & -1 & ? & ? & ? & ?\\ \end{tabular}}\)

y2= y" y1=y'


najwieksze problemy sprawia mi kolumna 0 i kolumna \(\displaystyle{ \infty}\) bo nie wiem skad sie tu bierze y.
jesli chodzi o wiersz y' to w ksiazce odpowiedzi sa odwrotne i tam gdzie powinny byc plusy ja mam minusy i odwrotnie. pewnei zrobilam jakis blad z monotonicznoscia dlatego podaje jak myslałam


moja monotonicznosc dla \(\displaystyle{ \frac{2}{x}(\ln x-1)}\) to f rosnie od 0 do e i f malejaca od e do \(\displaystyle{ \infty}\)
dziekuje za jakakolwiek pomoc!

W funkcji tej masz ekstremum (miejsce zerowe pierwszej pochodnej) dla \(\displaystyle{ x=e}\). Zapewne źle obliczyłeś wartość pochodnej dla \(\displaystyle{ x<e}\), potwórz obliczenia i przekonaj się, że funkcja jest malejąca dla \(\displaystyle{ x<e}\) i rosnąca dla \(\displaystyle{ x>e}\). Co do wartości \(\displaystyle{ 0,\infty}\) w tabelce, wydaje mi się, że należy tam umieścić granice funkcji \(\displaystyle{ \lim_{x\to0^+}f(x),\lim_{x\to\infty}f(x)}\).

Z tą monotonicznością cały czas mi się nie zgadza.
Obliczyłam ją jeszcze raz
\(\displaystyle{ \frac{2}{x}(lnx-1)}\)
x=e

narysowałam wykres i wyszło mi mimo to tak jak było na poczatku tj. f rosnąca dla (0,e) i malejąca \(\displaystyle{ (e, \infty )}\)

jeżeli chodzi o tabelkę to nadal mam problem bo mogę obliczyć granicę dla y ale co wtedy z kolumną np y'0?
taelka powinna wyglądac tak:

\(\displaystyle{ \begin{tabular}{cccccccc}
x & 0 & ... & e & ... & e^{2} & ... & \infty \\
y^{\prime\prime} & \infty & + & + & +& 0 & - & 0 \\
y^{\prime}& - \infty & - & 0 & + & + & + & 0 \\
y & \infty & sd & -1 & sg & 0 & sg & \infty \\
\end{tabular}}\)

sg strzalka w gore sd strzalka w dol

Rozwiążmy nierówności
\(\displaystyle{ \frac{2}{x}\left(\ln x-1\right)>0\\ \frac{2}{x}\left(\ln x-1\right)<0}\)
dla liczb \(\displaystyle{ R^+}\) ułamek będzie zawsze większy od 0, wystarczy więc ograniczyć się do rozpatrzenia nierówności, które po uproszczeniu przyjmą postać
\(\displaystyle{ \ln x>1\\ \ln x<1}\)
stąd otrzymujemy, że pochodna jest mniejsza od 0 dla \(\displaystyle{ x\in(0,e)}\) i większa od 0 dla \(\displaystyle{ x\in(e,infty)}\).
Wydaje mi się, w kolumnie \(\displaystyle{ f^{\prime}(0)}\) (pamiętaj, że nie są to formalne oznaczenia) trzeba umieścić wartości \(\displaystyle{ \lim_{x\to0^+}f^{\prime}(x)}\) (analogicznie dla granic w nieskończoności i drugiej pochodnej).

Rozwiążmy nierówności
\(\displaystyle{ \frac{2}{x}\left(\ln x-1\right)>0\\ \frac{2}{x}\left(\ln x-1\right)<0}\)
dla liczb \(\displaystyle{ R^+}\) ułamek będzie zawsze większy od 0, wystarczy więc ograniczyć się do rozpatrzenia nierówności, które po uproszczeniu przyjmą postać
\(\displaystyle{ \ln x>1\\ \ln x<1}\)

do tego momentu rozumiem:) ale teraz na mój chłopski rozum to wychodzi x<e i x>e ...
co do granic to chyba zrozumialam , juz zaczynam ,liczyc.

bbm pisze:ale teraz na mój chłopski rozum to wychodzi x<e i x>e ...

Zrób to stronami (nie umiem tego ładnie nazwać) jako wykładnik liczby e. Masz wyrażenie
\(\displaystyle{ e^{\ln x}>e^1}\)
ile to jest \(\displaystyle{ e^{\ln x}}\)?

nie wiem, nie umiem tego obliczyć.

Zapoznaj się w takim razie z definicją logarytmu naturalnego.

wiem co to logarytm naturalny ale i tak przeczytałam ta definicje. Nic mi nie dala, nie wiem jak ma się w ogóle mieć do tego przykładu bo nigdy takich nie liczyłam. Ale dziękuje za pomoc przy granicach.

\(\displaystyle{ \ln x = \log_{e}x}\)
więc \(\displaystyle{ e^{\ln x} = e^{\log_{e}x} = x}\)
tu koledze chodziło o własność która mówi o tym że eksponenta do potęgi logarytm przy podstawie z e to liczba logarytmowana, czyli nasz x.
a w ogólności:
\(\displaystyle{ y^{log_{y}x} = x}\) dla \(\displaystyle{ x > 0}\)

więc z podanej przez kolegę nierówności:
\(\displaystyle{ e^{\ln x}>e^1}\)
\(\displaystyle{ x > e}\)