Matematyka.pl

Wyznacz wartość największą i najmniejszą funkcji zadanej wzorem
\(\displaystyle{ f(x,y)= x^2+y^2-6x+6y }\)
w kole o środku w początku układu współrzędnych i promieniu \(\displaystyle{ 2}\).

Policzyłem pochodne cząstkowe:
\(\displaystyle{ f_x(x,y)=2x-6}\)
\(\displaystyle{ f_y(x,y)=2y+6}\)
I po porównaniu ich do \(\displaystyle{ 0}\) punkt podejrzany o ekstremum to \(\displaystyle{ (3,-3)}\) który przecież nie należy do dziedziny.
Następnie spróbowałem znaleźć ekstrema na brzegu koła za pomocą pochodnych cząstkowych
\(\displaystyle{ y=\sqrt{4-x^2}
}\)
oraz \(\displaystyle{ y=-\sqrt{4-x^2}
}\)
ale w każdym przypadku wychodzi sprzeczność albo x poza dziedziną.
Skąd mam wiedzieć, w ktorym punkcie wartość jest największa/najmniejsza? Zastanawiałem się, czy mógłbym sprawdzić czy w punkcie \(\displaystyle{ (3,-3)}\) jest minimum czy maksimum a następnie uznać, że punkt w dziedzinie znajdujący sie najbliżej niego to najmniejsza/największa wartość, a punkt najbardziej oddalony od niego to wartość największa/najmniejsza.

Skoro jedyny punkt krytyczny leży poza kołem, to we wnętrzu koła nie ma ekstremów. A zatem wszystkie są na brzegu (i są to ekstrema warunkowe) - skorzystaj z mnożników Lagrange'a, by je wyznaczyć.

A może, zamiast brać się za skomplikowane narzędzia, trochę pomyśleć?
`f(x,y)=(x-3)^2+(y+3)^2-18=`kwadrat odległości od punktu `(3,-3)-18`.
Od razu widać (przyda się papier w kratkę) , że na okręgu najbliżej tego punktu leży punkt `(1,-1)` (bo leży na prostej łączącej punkt ze środkiem okręgu), a najdalej punkt `(-1,1)`

a4karo pisze: ↑8 lip 2023, o 22:39A może, zamiast brać się za skomplikowane narzędzia, trochę pomyśleć?

Mimo iż od początku wiedziałem, że pojawienie się tego rodzaju sugestii jest jedynie kwestią czasu, nie mniej przez to zabawnie brzmi ta sugestia w ustach osoby regularnie promującej rozwiązywanie twierdzeniem Lagrange'a prostych granic, gdy wystarczają proste rachunki.

Co do meritum: omawiane zadanie jest typowym ćwiczeniem na znalezienie ekstremów warunkowych. Rozwiązując je sprytniej dzięki szczególnej postaci funkcji i obszaru można wprawdzie zarobić parę punktów za spostrzegawczość (i uprościć rachunki), ale jednocześnie traci się okazję przećwiczenia sztampowej metody, która działa w olbrzymiej ogólności.

Poza tym, jak mawiał Whitehead (tłumaczenie z Matematyki Konkretnej):

Głęboko błędnym truizmem, powtarzanym we wszystkich podręcznikach i przez wszystkie sławy przy okazji rozmaitych wystąpień jest, że powinniśmy kultywować nawyk myślenia o tym, co robimy. W istocie trzeba postępować dokładnie na odwrót. Postęp cywilizacji dokonuje się przez poszerzenie repertuaru ważnych operacji, które jesteśmy w stanie stosować bez myślenia o nich. Działanie myśli przypomina szarże kawalerii w bitwie. Ich liczba jest ściśle ograniczona; wymagają one świeżych koni i powinny być dokonywane we właściwych momentach.

Najfajniejsze są świeże konie w przebrzmiałej metaforze Whiteheada.

@ a4karo
Przypuszczam, że źle zapamiętał Pan promień koła, i stąd błędne punkty.

akzn pisze: ↑8 lip 2023, o 17:04 Następnie spróbowałem znaleźć ekstrema na brzegu koła za pomocą pochodnych cząstkowych
\(\displaystyle{ y=\sqrt{4-x^2}}\)
oraz \(\displaystyle{ y=-\sqrt{4-x^2}}\)
ale w każdym przypadku wychodzi sprzeczność albo x poza dziedziną.

Nie wychodzi, gdyż robisz błędy rachunkowe.
Np:
Dla \(\displaystyle{ y= \sqrt{4-x^2} \ \ \wedge \ \ x \in (-2,2) }\) masz
\(\displaystyle{ f(x)=4-6x+6 \sqrt{4-x^2}\\
f'(x)=-6- \frac{6x}{ \sqrt{4-x^2} } }\)
Ta pochodna zeruje się dla \(\displaystyle{ x=- \sqrt{2} }\)

Przy takim podziale okręgu musisz jeszcze sprawdzić wartość optymalizowanej funkcji w miejscach podziału, czyli w punktach (-2,0) i (2,0)

Innym, nie wspomnianym powyżej sposobem, jest przejście na współrzędne biegunowe, co daje
\(\displaystyle{ f( \alpha )=4-12\cos \alpha +12 \sin \alpha }\)