Matematyka.pl

Bardzo prosiłabym o pomoc z następującym zadaniem: Posługując się różniczką funkcji odwrotnej proszę znaleźć przybliżone rozwiązanie równania \(\displaystyle{ x^{7} + 4x^{5} + 3x^{3} +2x - 9,9962=0}\) Nie mogę znaleźć żadnego źródła które wyjaśniałoby podobny przykład, wszędzie jest jedynie wyznaczanie przybliżonego rozwiązania, ale nigdzie nie ma tego w połączeniu z funkcją odwrotną...

Chodzi tutaj o coś takiego. Masz dane:

\(\displaystyle{ f(x) = x^7 + 4x^5 + 3x^3 + 2x - 9.9962}\)

Potrzebujesz obliczyć
\(\displaystyle{ g(0) = ? \\
g(x) = f^{-1}(x)}\)
gdzie g to funkcja odwrotna do funkcji \(\displaystyle{ f.}\) Nie wiadomo, ile wynosi \(\displaystyle{ g(0),}\) ale jeżeli przyjrzymy się funkcji f, to można zauważyć, że
\(\displaystyle{ f(1) = 0.0038 \Rightarrow g(0.0038) = 1}\)
Podstawmy:
\(\displaystyle{ x_0 = 0.0038 \\
\Delta x = -0.0038 \\}\)
Korzystając ze wzorów:
\(\displaystyle{ f(x_0+\Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0)\Delta x \\
\left[f^{-1}(y)\right]'=\frac{1}{f'(x)}}\)
obliczasz:
\(\displaystyle{ g(0) = g(0.0038 - 0.0038) \approx g(0.0038) - \frac{0.0038}{7x^6 + 20x^4 + 9x^2 + 2 \left| dla \ x=0.0038 \right|} \approx 1 - \frac{0.0038}{2.00013}}\)

Bardzo dziękuję! A czy mam szansę żeby dowiedzieć się czy podobną metodą dałoby się otrzymać przybliżone rozwiązanie równania: \(\displaystyle{ -3\cdot x^{3} +3\cdot x^{2} + 1= 0}\) ?