Jak sie liczy pochodną względem np. x gdy funkcja względem tej zmiennej jest typu: \(\displaystyle{ u=a^v w^b}\)
Oczywiście \(\displaystyle{ v}\) i \(\displaystyle{ w}\) występuje zmienna x a w \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) nie
W książce mam to tak rozpisane ale nie wiem skąd sie to bierze:
\(\displaystyle{ u'=a^v w^{b-1} (v' w\cdot ln(a) + b w')}\)
Czy w tym przypadku to się rozpisuje jako iloczyn dwóch wyrażeń.
\(\displaystyle{ (uw)'=u'w + uw'}\)
Bo jak tak to wg mnie to tak powinno być:
\(\displaystyle{ u'= a^v ln(a) v' + a^v w^{b-1} b w'}\)
Co robię źle, jak takie coś się rozpisuje ? Macie moze jakieś materiały opochodnych czastkowych w formie elektronicznej albo wiecie gdzie znajduję sie to w necie ? jak tak to dajcie namiar.
pochodne cząstkowe
-
SasQ
- Użytkownik
- Posty: 55
- Rejestracja: 7 sty 2008, o 15:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Z kątowni
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 3 razy
pochodne cząstkowe
Po pierwsze jeśli liczysz pochodną cząstkową, to po prostu "zamrażasz" wszystkie pozostałe zmienne i stają się one stałymi, a wtedy otrzymujesz funkcję tylko jednej zmiennej [bo cała reszta to stałe]. Wszystkie symbole nie będące \(\displaystyle{ x}\) możesz potraktować jako stałe.
Po drugie, funkcję \(\displaystyle{ u}\) możesz potraktować jako iloczyn dwóch funkcji: \(\displaystyle{ f(x) = \mbox{a}^{v}}\) oraz \(\displaystyle{ g(x) = w^{\mbox{b}}}\), czyli masz \(\displaystyle{ u(x) = f(x) g(x)}\).
Chcąc policzyć pochodną funkcji \(\displaystyle{ u(x)}\) [pamiętaj, że dopóki pozostałe zmienne niezależne traktujemy jako stałe, funkcję \(\displaystyle{ u}\) możemy traktować jak zwyczajną funkcję tylko jednej zmiennej \(\displaystyle{ x}\)] musisz teraz skorzystać z reguły iloczynu:
\(\displaystyle{ u^{\prime}(x) = (f(x) g(x))^{\prime} = f^{\prime}(x) g(x) + f(x) g^{\prime}(x)}\)
lub w notacji Leibniza:
\(\displaystyle{ \frac{\mbox{d}u}{\mbox{d}x} = \frac{\mbox{d}(f g)}{\mbox{d}x} = \frac{\mbox{d}f}{\mbox{d}x}g + f\frac{\mbox{d}g}{\mbox{d}x}}\)
Funkcje \(\displaystyle{ f}\) i \(\displaystyle{ g}\) już masz, więc do tego wzoru potrzebujesz jeszcze tylko ich pochodnych.
Pierwsza funkcja to jakieś stałe wyrażenie \(\displaystyle{ \mbox{a}}\) [bo nie zawiera \(\displaystyle{ x}\)] podniesione do wyrażenia zawierającego \(\displaystyle{ x}\), a więc mamy tu funkcję wykładniczą typu \(\displaystyle{ \mbox{a}^{x}}\). Pochodną takiej funkcji jest \(\displaystyle{ \mbox{a}^{x} \ln \mbox{a}}\).
Druga funkcja to jakieś wyrażenie zawierające \(\displaystyle{ x}\) podniesione do wyrażenia stałego \(\displaystyle{ \mbox{b}}\), a więc jest to funkcja postaci \(\displaystyle{ x^{\mbox{n}}}\), czyli zwyczajny wielomian [albo raczej jeden jego wyraz ]. Pochodną takiej funkcji jest \(\displaystyle{ \mbox{n}x^{n-1}}\).
Podsumowując, mamy dane:
\(\displaystyle{ f(x) = \mbox{a}^{v} \qquad f^{\prime}(x) = \mbox{a}^{v}\ln\mbox{a}\\
g(x) = w^{\mbox{b}} \qquad g^{\prime}(x) = \mbox{b}w^{b-1}}\)
Wstawiając to do wzoru na pochodną iloczynu [reguła iloczynu] mamy:
\(\displaystyle{ u^{\prime}(x) = (f(x) g(x))^{\prime} = f^{\prime}(x) g(x) + f(x) g^{\prime}(x) = \\ = \mbox{a}^{v}\ln\mbox{a} w^{\mbox{b}} + \mbox{a}^{v} \mbox{b}w^{b-1}}\)
Po drugie, funkcję \(\displaystyle{ u}\) możesz potraktować jako iloczyn dwóch funkcji: \(\displaystyle{ f(x) = \mbox{a}^{v}}\) oraz \(\displaystyle{ g(x) = w^{\mbox{b}}}\), czyli masz \(\displaystyle{ u(x) = f(x) g(x)}\).
Chcąc policzyć pochodną funkcji \(\displaystyle{ u(x)}\) [pamiętaj, że dopóki pozostałe zmienne niezależne traktujemy jako stałe, funkcję \(\displaystyle{ u}\) możemy traktować jak zwyczajną funkcję tylko jednej zmiennej \(\displaystyle{ x}\)] musisz teraz skorzystać z reguły iloczynu:
\(\displaystyle{ u^{\prime}(x) = (f(x) g(x))^{\prime} = f^{\prime}(x) g(x) + f(x) g^{\prime}(x)}\)
lub w notacji Leibniza:
\(\displaystyle{ \frac{\mbox{d}u}{\mbox{d}x} = \frac{\mbox{d}(f g)}{\mbox{d}x} = \frac{\mbox{d}f}{\mbox{d}x}g + f\frac{\mbox{d}g}{\mbox{d}x}}\)
Funkcje \(\displaystyle{ f}\) i \(\displaystyle{ g}\) już masz, więc do tego wzoru potrzebujesz jeszcze tylko ich pochodnych.
Pierwsza funkcja to jakieś stałe wyrażenie \(\displaystyle{ \mbox{a}}\) [bo nie zawiera \(\displaystyle{ x}\)] podniesione do wyrażenia zawierającego \(\displaystyle{ x}\), a więc mamy tu funkcję wykładniczą typu \(\displaystyle{ \mbox{a}^{x}}\). Pochodną takiej funkcji jest \(\displaystyle{ \mbox{a}^{x} \ln \mbox{a}}\).
Druga funkcja to jakieś wyrażenie zawierające \(\displaystyle{ x}\) podniesione do wyrażenia stałego \(\displaystyle{ \mbox{b}}\), a więc jest to funkcja postaci \(\displaystyle{ x^{\mbox{n}}}\), czyli zwyczajny wielomian [albo raczej jeden jego wyraz ]. Pochodną takiej funkcji jest \(\displaystyle{ \mbox{n}x^{n-1}}\).
Podsumowując, mamy dane:
\(\displaystyle{ f(x) = \mbox{a}^{v} \qquad f^{\prime}(x) = \mbox{a}^{v}\ln\mbox{a}\\
g(x) = w^{\mbox{b}} \qquad g^{\prime}(x) = \mbox{b}w^{b-1}}\)
Wstawiając to do wzoru na pochodną iloczynu [reguła iloczynu] mamy:
\(\displaystyle{ u^{\prime}(x) = (f(x) g(x))^{\prime} = f^{\prime}(x) g(x) + f(x) g^{\prime}(x) = \\ = \mbox{a}^{v}\ln\mbox{a} w^{\mbox{b}} + \mbox{a}^{v} \mbox{b}w^{b-1}}\)