Matematyka.pl

mam problem z obliczaniem pochodnych z logarytmu. Na razie zatrzymałem się na takich przykładach:
\(\displaystyle{ \ y=ln \frac{30}{x+3}}\)
\(\displaystyle{ \ s=ln \ (t+ \sqrt{t ^{2} +1})}\)

\(\displaystyle{ y=ln\frac{30}{x+3}\\
y'=ln'(\frac{30}{x+3})\cdot (\frac{30}{x+3})'=\frac{1}{\frac{30}{x+3}}\cdot \frac{-30}{(x+3)^2}=\frac{x+3}{30}\cdot \frac{-30}{(x+3)^2}=\frac{-1}{x+3}}\)
\(\displaystyle{ s=ln(t+\sqrt{t^2+1})\\
s'=ln'(t+\sqrt{t^2+1})\cdot (t+\sqrt{t^2+1})'=\frac{1}{\sqrt{t^2+1}}}\)

co do drugiego przykładu, s:
liczysz pochodną logarytmu i pochodne f. wewnętrznych, czyli:
\(\displaystyle{ s'=({ln({t+\sqrt{t^2+1}})})'*(t+\sqrt{t^2+1})'}\)
stąd
\(\displaystyle{ s'=\frac{1}{t+\sqrt{t^2+1}}}*(1+{\frac{1}{2*\sqrt{t^2+1}}*2t})}\)
\(\displaystyle{ s'=\frac{1}{t+\sqrt{t^2+1}}}*{\frac{\sqrt{t^2+1}+t}{\sqrt{t^2+1}}}}\)
\(\displaystyle{ s'=\frac{1}{\sqrt{t^2+1}}}\)

Chyba jest ok

tak, wyniki są ok, ale w przykładzie 2. nie mogę się połapać, bo nie wiem jak obliczyć wyrażenie \(\displaystyle{ (1+ \frac{1}{2 \sqrt{t ^{2} +1} } *2t)}\) . Co zrobiłeś z tą jedynką przed ułamkiem? Bo z tym miewam problemy i potem nie wiem skąd się wzięły dalsze wyrażenia :/

Jedynka została włączona do ułamka.

a jak zrobić coś takiego:
\(\displaystyle{ y=ln \frac{a+b*tgx}{a-b*tgx}}\)
dokladnie chodzi mi o pochodna wewnetrzna bo pochodna logarytmu to bedzie odwrotnosc wyrazenia logarytmowanego?

Rozbij na dwa logarytmy bedzie bez liczenia pochodnej funkcji wymiernej :
\(\displaystyle{ y=ln \frac{a+b\cdot tgx}{a-b\cdot tgx}=
ln(a+b\cdot tgx)-ln(a-b\cdot tgx)\\
y'=\frac{\frac{b}{cos^2x}}{a+b\cdot tgx}-\frac{\frac{-b}{cos^2x}}{a-b\cdot tgx}}\)

POZDRO

szczerze mówiąc to nie wiem skąd się wzięły te wyrażenia w licznikach :/ i co powiesz na rozwiązanie w książce które wynosi \(\displaystyle{ y'= \frac{2ab}{a ^{2}cos ^{2}x-b ^{2}sin ^{2}x }}\) ???

Wzor na pochodna ln :
\(\displaystyle{ [lnf(x)]'=\frac{f'(x)}{f(x)}}\)

Czyli licznik to pochodna funkcji wewnetrznej, czyli w tym przypadku \(\displaystyle{ a\pm b\cdot tgx}\). Co do wyniku z ksiazki to sprowadz do wspolnego mianownika i ci pewnie wyjdzie to samo... POZDRO

\(\displaystyle{ y=ln(ln(lnx)) , x>e}\)
\(\displaystyle{ y=15ln*tg \frac{1}{2}x+ \frac{cosx}{sin ^{4}x} (8cos ^{4}x - 25cos ^{2}x +15)}\)

mam jeszcze problem z tymi przykładami. w pierwszym liczyłem kolejno pochodne wewnętrzne, ale wyszedł mi inny wynik niż w odpowiedziach, natomiast w drugim gubię się po znaku 'plus'. czy przy obliczaniu drugiej pochodnej stosujemy wzór na pochodną sum funkcji?

1.
\(\displaystyle{ y'=\frac{[ln(lnx)]'}{ln(lnx)}=
\frac{\frac{[lnx]'}{lnx}}{ln(lnx)}=
\frac{\frac{ \frac{1}{x}}{lnx}}{ln(lnx)}=...}\)

POZDRO

i jak to dalej wyliczyc??