Matematyka.pl

Niech:
\(\displaystyle{ f(x)=\begin{cases} \frac{2e^x-e^{x^{2}}-1-2x}{x^{3}} \ dla \ x \neq 0\\A \ dla \ x=0\end{cases}}\)
Dla którego A istnieje f'(0) i ile wynosi.

I teraz nie rozumiem jednego miejsca w obliczeniach.

Liczymy zadanie z definicji:

\(\displaystyle{ f'(0) = \lim_{ h\to 0 } = \frac{2e^h - e^{h^2} - 1 -2h-Ah^3}{h^{4}}}\)

i teraz jak to zabierzemy 2 razy z de L'Hospitala to otrzymamy:

\(\displaystyle{ \lim_{ h\to 0 } = \frac{2e^h -12he^{h^2} -8h^3e^{h^2}-6A}{24h}}\)

i teraz moje pytanie dlaczego bierzemy że
\(\displaystyle{ 2-6A=0??}\)

proszę o porządne wytłumaczenie:)

Aby dalej liczyć granicę, musielibyśmy znów zastosować regułę del'Hospitala.
Zatem sprawdzamy czy możemy ją zastosować (czy otrzymamy symbol nieoznaczony 0/0)? Po wyliczeniu w liczniku wartości dla \(\displaystyle{ h\to 0}\), otrzymamy w liczniku 0 tylko wtedy gdy 2-6A=0.


Ps.
Mała uwaga, nagminnie piszesz znak \(\displaystyle{ =}\) po wyrażeniu \(\displaystyle{ \lim}\), a to błąd. Powinno być \(\displaystyle{ \lim_{h\to 0}\frac{2e^h-12he^{h^2}+\cdots}{h}}\)