Matematyka.pl

Mam kilka pytań:

1. Czy: \(\displaystyle{ ln^2(x)}\) jest równe \(\displaystyle{ ln(x)^2}\) ?

Jeżeli nie, to ile wynosi pochodna z: \(\displaystyle{ ln^2(x)}\) a ile z: \(\displaystyle{ ln(x)^2}\) ?

Z tego 1 wg mnie to będzie: \(\displaystyle{ \frac{2 ln(x)}{x}}\)

A z 2: \(\displaystyle{ \frac{1}{2x}}\)

Ale czy to jest dobrze?




2. Mam policzyć taką granicę:

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 1} \frac{ln^2(x)}{1+ \cos \pi x}}\)

i ok, wychodzi mi \(\displaystyle{ \frac{0}{0}}\) i stosuje de l'Hospitala i powstaje mi takie coś:

\(\displaystyle{ \frac{2ln(x) \frac{1}{x}(1+ \cos \pi x) - ln^2 (x) -\sin \pi x \ 0}{(1+ \cos \pi x)^2}}\)

i jak podstawie 1, to dalej mam \(\displaystyle{ \frac{0}{0}}\) i czy dalej mam liczyć pochodna z tego czegoś, czy może jest na to inny sposób?

zonker pisze:Jeżeli nie, to ile wynosi pochodna z: \(\displaystyle{ \ln^2(x)}\) a ile z: \(\displaystyle{ \ln(x)^2}\) ?

To zależy czy przez zapis \(\displaystyle{ \ln (x)^2}\) rozumiesz \(\displaystyle{ (\ln x)^2}\) czy \(\displaystyle{ \ln x^2}\)?
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 1} \frac{\ln^2(x)}{1+ \cos \pi x} \stackrel{[H]}{=}\lim_{ x\to 1} \frac{(\ln^2(x))'}{(1+ \cos \pi x)'}}\)
W żadnym wypadku:
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 1} \frac{\ln^2(x)}{1+ \cos \pi x} \stackrel{[H]}{=}\lim_{ x\to 1} (\frac{\ln^2(x)}{1+ \cos \pi x})'}\)

zonker pisze:Mam kilka pytań:

1. Czy: \(\displaystyle{ ln^2(x)}\) jest równe \(\displaystyle{ ln(x)^2}\) ?

Jeżeli nie, to ile wynosi pochodna z: \(\displaystyle{ ln^2(x)}\) a ile z: \(\displaystyle{ ln(x)^2}\) ?

Z tego 1 wg mnie to będzie: \(\displaystyle{ \frac{2 ln(x)}{x}}\)

A z 2: \(\displaystyle{ \frac{1}{2x}}\)

Ale czy to jest dobrze?




2. Mam policzyć taką granicę:

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 1} \frac{ln^2(x)}{1+ \cos \pi x}}\)

i ok, wychodzi mi \(\displaystyle{ \frac{0}{0}}\) i stosuje de l'Hospitala i powstaje mi takie coś:

\(\displaystyle{ \frac{2ln(x) \frac{1}{x}(1+ \cos \pi x) - ln^2 (x) -\sin \pi x \ 0}{(1+ \cos \pi x)^2}}\)

i jak podstawie 1, to dalej mam \(\displaystyle{ \frac{0}{0}}\) i czy dalej mam liczyć pochodna z tego czegoś, czy może jest na to inny sposób?

1) Nie jest równe, tylko,że drugą pochodną źle policzyłaś , powinno być: \(\displaystyle{ \frac{2x}{x^{2}} \(\displaystyle{

2) źle policzyłeś granicę, pomyłka w liczniku w drugiej cześci (zamiast -sin... tam powinno być mnożenie )}\)}\)

1 . \(\displaystyle{ ln^2x = (lnx)^2}\)
\(\displaystyle{ ((lnx)^2)' = 2 \cdot lnx \cdot \frac{1}{x}}\)

\(\displaystyle{ lnx^2 = 2lnx}\)
\(\displaystyle{ (lnx^2)' = \frac{1}{x^2} \cdot 2x}\)

2. Gdy stosujesz regułę de l'Hospitala to liczysz pochodną licznika i dzielisz przez pochodną licznika. To nie jest pochodna ilorazu!

-- 6 lut 2009, o 20:24 --

dzielisz przez pochodna mianownika pomerdalo mi sie

Faktycznie. Ale błąd popełniłem :/

Wielkie dzięki za pomoc. I za rozwiązanie tych logarytmów.