Matematyka.pl

\(\displaystyle{ \frac{\log_{e} x }{x-1} \le \frac{1}{ \sqrt[]{x} }}\) dla \(\displaystyle{ x\in(0, \infty ), x \neq 1}\)

Wiem, że trzeba przenieść wszystko na jedną stronę i zacząć liczyć pochodną i że powinno wszystko w miarę ładnie wyjść, jednak ja zatrzymuje się na tym działaniu

\(\displaystyle{ (x-1)(2 \sqrt{x} +x-1)=2x \sqrt{x}\log_{e} x}\)

Wiem, że wynik ma być brak ekstremum i wtedy powinienem zacząć liczyć granice na przedziałach dziedziny jednak, nie potrafię najpierw dowieść braku ekstremum.. jakieś rady?

Nie wiem skąd się wziął taki potworek, bo nie pokazałeś rachunków. Ale...

Piękno matematyki polega na tym, że rzadko kiedy coś TRZEBA.
Tutaj MOŻESZ zrobić np. tak: pokaż, że wykres funkcji \(\displaystyle{ \sqrt{x}\ln x}\) ma w punkcie \(\displaystyle{ (1,0)}\) punkt przegięcia i przechodzi z wypukłej we wklęsłą. Dalej pokaż, że prosta \(\displaystyle{ x-1}\) jest styczna do jej wykresu w tymże punkcie. Wniosek wyciągnij sam