Matematyka.pl

Zbadać funkcje z parametrem na wypukłość:
\(\displaystyle{ f(x):=\frac{\ln(a+2-x)+1}{(a+2-x)}}\), dla \(\displaystyle{ a\geq x-1}\)

szukam dziedziny, mam
\(\displaystyle{ a+2-x>0 \Rightarrow a+2>x}\)

liczę drugą pochodną:

\(\displaystyle{ g''(x)&=&\frac{2\ln{(a+2-x)}-1}{(\delta+2-x)^3}}\)

i sprawdzam :

\(\displaystyle{ g''(x)\geq 0}\)

więc:

\(\displaystyle{ 2(a+2-x)^3\ln{(a+2-x)}-(a+2-x)^3\geq 0}\)

\(\displaystyle{ \ln^{2(a+2-x)}{(a+2-x)}\geq\ln{e^{a+2-x}}}\)

\(\displaystyle{ (a+2-x)^{2(a+2-x)}&\geq& e^{a+2-x}}\)

\(\displaystyle{ (a+2-x)^2\geq e}\)

nie podoba mi się następne przejście<czy można to jakoś ładniej zapisać?>:
\(\displaystyle{ x\leq a+2-\sqrt{e}}\)


chce wyprowadzić wniosek, ze
Funkcja \(\displaystyle{ g}\) jest więc wypukła dla \(\displaystyle{ x\leq a}\)

?dobrze policzyłam?

cheerful2 pisze: szukam dziedziny, mam
\(\displaystyle{ a+2-x>0 \Rightarrow a+2>x}\)

W tym zadaniu jest podana dziedzina i jest ona nieco mniejsza od tzw. dziedziny naturalnej.

cheerful2 pisze: liczę drugą pochodną:

Najpierw pokaż jak liczysz pierwszą pochodną, bo pewnie już tam są błędy.

pierwsza pochodna

\(\displaystyle{ g'(x)=\frac{\ln{(a+2-x)}}{(a+2-x)^2}}\)

przepraszam za \(\displaystyle{ \delta}\)-ę miało być \(\displaystyle{ a}\)

To jednak pochodna dobrze policzona (pod warunkiem że \(\displaystyle{ \delta=a}\)).

Rozwiązując nierówność niepotrzebnie robisz skomplikowane przejścia.

\(\displaystyle{ \frac{2\ln{(a+2-x)}-1}{(a+2-x)^3}\ge0}\),

\(\displaystyle{ 2\ln{(a+2-x)}-1\ge0}\) (wszak \(\displaystyle{ a+2-x>0}\)),

\(\displaystyle{ \ln{(a+2-x)}\ge\frac12}\)

itd.

Co do wyniku \(\displaystyle{ x\leq a+2-\sqrt{e}}\), jest on poprawny i raczej nie da się go prościej zapisać.