Matematyka.pl

Dzień dobry, mam problem przy z pozoru prostym zadaniu z analizy matematycznej.

Otóż mam funkcję w postaci:
\(\displaystyle{ f(x,y)=\sin{x}+\cos{y}+\cos{(x-y)}}\)
Zadanie polega na znalezieniu ekstremów lokalnych funkcji.

Tworzę więc układ równań:
\(\displaystyle{
\begin{cases} \frac{\partial z}{\partial x} = \cos{x}-\sin{(x-y)}=0 \\
\frac{\partial z}{\partial y}=-\sin{y}+\sin{(x-y)} = 0 \end{cases}
}\)

No i tu się zaczynają schody! W założeniach zadania napisane jest, że zarówno \(\displaystyle{ {x}}\), jak i \(\displaystyle{ {y}}\) należą do przedziału \(\displaystyle{ [0; \pi/2)}\). Nie wychodzi mi zatem żaden rozsądny punkt, natomiast w odpowiedziach napisane jest, że w punkcie \(\displaystyle{ \left(\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{6}\right)}\) znajduje się siodło. Czegoś nie rozumiem? Nie umiem rozwiązywać prostych układów równań?
Zaraz oszaleję, proszę pomóżcie.
Pozdrawiam.

Najlepiej będzie gdy pokażesz jak rozwiązujesz ten prosty układ.

a4karo pisze: ↑23 sie 2023, o 22:44 Najlepiej będzie gdy pokażesz jak rozwiązujesz ten prosty układ.

Otóż rozwiązuję go wyłączając sobie z pierwszego \(\displaystyle{ \cos{x}=\sin{(x-y)}}\) i potem wstawiając do drugiego.
Dostaję \(\displaystyle{ \sin{y}=\cos{x}}\).
Potem \(\displaystyle{ \sin{(x+\pi/2)}=\sin{y}}\).
No i tutaj jestem trochę pogubiony. No bo to funkcja periodyczna, ale mamy dwie niezależne zmienne. Jak to powinienem uwzględnić?
Na razie dotarłem do momentu, gdzie mam \(\displaystyle{ y=x+\pi/2}\), ale skoro nie mam poprawnej odpowiedzi, to na bank zrobiłem coś źle...
...tylko nie wiem co.

Z faktu, że sinusy są równe nie wynika, że ich argumenty są równe.