Matematyka.pl

\(\displaystyle{ f(x,y)=-3(x-1)^{4}-4(y+2)^2}\)
\(\displaystyle{ (x-1)^{4}=x^{4}-4x^{3}+6x^{2}-4x+1}\)
\(\displaystyle{ f(x,y)=-3x^{4}+12x^{3}-18x^{2}+12x-4y^{2}-16y-19}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial x} (x,y)=-x^{3}+3x^{2}-3x+1}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial y} (x,y)=-y-2}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} -x^{3}+3x^{2}-3x+12=0 \\ -y-2=2 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ x=1,y=-2}\)
\(\displaystyle{ P(1,-2)}\) punkt stacjonary
\(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial x}( \frac{ \partial f}{ \partial x} )= \frac{ \partial f}{ \partial x}(-x^{3}+3x^{2}-3x+1)=-3x^{2}+6x-3}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial x}( \frac{ \partial f}{ \partial y} )=\frac{ \partial f}{ \partial x}(-y-2)=0}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial y}( \frac{ \partial f}{ \partial y} )=-1}\)
\(\displaystyle{ W=\left|\begin{array}{ccc}-3x^{2}+6x-3&0\\0&-1\end{array}\right|=0}\)
Punkt stacjonarny jest dobrze, tylko coś z tym wyznacznikiem pomyliłem, bo odp. to jest maximum. Będę bardzo wdzięczny za wskazanie miejsca gdzie robię błąd.

W jaki sposób liczysz pochodne cząstkowe?

\(\displaystyle{ f(x,y)=-3x^{4}+12x^{3}-18x^{2}+12x-4y^{2}-16y-19}\)
Korzystam ze wzoru na pochodną: \(\displaystyle{ (x^{n})'=nx^{n-1}}\) oraz \(\displaystyle{ (C)'=0}\), gdzie \(\displaystyle{ C}\) oznacza pewną stałą.
\(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial x}(x,y)=-12x^{3}+36x^{2}-36x+12}\) dziele wyrażenia przez \(\displaystyle{ 12}\) i otrzymuje \(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial x}(x,y)=-x^{3}+3x^{2}-3x+1}\)
Zaś druga pochodna (te same wzory):
\(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial y}(x,y)=-8y-16}\) dziele wyrazy przez \(\displaystyle{ 8}\) otrzymując \(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial y}(x,y)=-y-2}\)
Pochodna drugiego rzędu:
\(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial x}(\frac{ \partial f}{ \partial x})=\frac{ \partial f}{ \partial x}(-x^{3}+3x^{2}-3x+1)=-3x^{2}+6x-3}\) korzystając ze w/w wzorów.
itd.
W którym miejscu źle liczę ?

Ok, teraz rozumiem, ale nie możesz napisać:

\(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial x}(x,y)=-x^{3}+3x^{2}-3x+1}\) , bo to nieprawda. Dzielić możesz jak będziesz rozwiązywał równanie:

\(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial x}(x,y)=0}\) .

rozumiem, ale nadal nie wiem, gdzie mam błąd.

\(\displaystyle{ -x^{3}+3x^{2}-3x+1=-12x^{3}+36x^{2}-36x+12}\) Taka równość nie zawsze zachodzi, więc nie można tak pisać.

rozumiem, ale zapisałem w postaci \(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial x}(x,y)=-12x^{3}+36x^{2}-36x+12}\) i nadal, moje rozwiązanie różni się od poprawnego.

\(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial x}(x,y)=-12x^{3}+36x^{2}-36x+12}\) . To jest poprawny wynik.

właśnie taki podstawiam do równania i dlatego wychodzi mi prawidłowy punkt stacjonarny. Taki sam wielomian podstawiam licząc \(\displaystyle{ \frac{ \partial ^{2}f}{ \partial x^{2}}}\) i dostaje \(\displaystyle{ -36x^{2}+72x-36}\) a także w pochodnej mieszanej: \(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial y}(-12x^{3}+36x^{2}-36x+12)=0}\) co daje mi wyznacznik: \(\displaystyle{ W=\left|\begin{array}{ccc}-36x^{2}+72x-36&0\\0&-1\end{array}\right|}\) podstawiają wcześniej otrzymany punkt stacjonarny czyli licząc wyznacznik \(\displaystyle{ W}\) w punkcie \(\displaystyle{ P=(1,-2)}\) otrzymuje \(\displaystyle{ (-36+72-36) \cdot (-1)-0=0}\) co jest różne od prawidłowego wyniku, czyli zapis który wspomniał Pan, że był nie poprawny, będąc zapisanym w postaci poprawnej nie pozwala uzyskać prawidłowej odpowiedzi w zadaniu a to znaczy, że istnieje jeszcze inny problem niż ten który Pan wskazał.

A dlaczego stwierdzasz, że jest to nieprawidłowy wynik?

Ponieważ w odpowiedzi do zadania jest napisane, iż w punkcie \(\displaystyle{ (1,-2)}\) jest maksimum. Co w moim rozwiązaniu jest nieprawdą

W Twoim rozwiązaniu stwierdziłeś na razie, że druga różniczka się zeruje w tym punkcie, a to oznacza, że nie jest spełniony warunek wystarczający na istnienie ekstremum. Wcale to nie oznacza, że funkcja nie ma tam maksimum. Trzeba to po prostu inaczej sprawdzić.

Nie myl warunku wystarczającego z warunkiem koniecznym.

no racja, a jakaś podpowiedź jak dalej poprowadzić zadanie ?

Rozważ punkt \(\displaystyle{ P(1+a,-2+b)}\) i zobacz jak się zachowuje \(\displaystyle{ f(P)}\) dla małych co do modułu \(\displaystyle{ a,b}\) .

\(\displaystyle{ f \left( p \right) =-3a^{4}-4b^{2}}\)
teraz sprawdzać na ciągach np: \(\displaystyle{ \left( 0, \frac{1}{n} \right)}\) oraz \(\displaystyle{ \left( \frac{1}{n},0 \right)}\), tak aby dostać liczby większemniejsze od wartości funkcji w punkcie podejrzanym
o to chodzi ?