Wykazać, że odwzorowanie \(\displaystyle{ \varphi(x)=\frac{x}{1+\Vert x\Vert}, \; x\in\mathbb{R}^k}\) jest dyfeomorfizmem przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}^k}\) na kulę \(\displaystyle{ \{x\in\mathbb{R}^k\colon x^2<1\}}\).
Obserwacje takie:
- Macierz różniczki \(\displaystyle{ \varphi(x)}\) jest macierzą jednostkową, czyli jakobian jest niezerowy dla dow. punktu.
- \(\displaystyle{ \varphi}\) jest klasy \(\displaystyle{ C^1}\) (każda pochodna cząstkowa ciągła (f. stała) istnieje).
- \(\displaystyle{ y=\frac{x}{1+\Vert x\Vert}\Rightarrow\Vert y\Vert=\frac{\Vert x\Vert}{1+\Vert x\Vert}<1}\). Czyli \(\displaystyle{ y\circ y=y^2<1}\).
- Jeśli wykażę różnowartościowość, to jest to dyfeomorfizm, ale chyba nie mogę jeszcze stwierdzić, że na pożądanej kuli?
Rachunkowo mam nawet problem pokazać że to bijekcja
Funkcję daną takim samym wzorem tylko \(\displaystyle{ \mathbb{R}\to\mathbb{R}}\) kiedyś już sprawdzałem, że jest bijekcją
Gdy wezmę normę \(\displaystyle{ \Vert y\Vert}\) to analogicznie łatwo mi tylko np. pokazać, że
\(\displaystyle{ \Vert x\Vert=\left\Vert\frac{y}{1-\Vert y\Vert}\right\Vert=\frac{1}{1-\Vert y\Vert}\Vert y\Vert}\) (\(\displaystyle{ \Vert y\Vert<1}\)!)
