Matematyka.pl

Rozważam pewien dowód tego, że \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n^2}= \frac{\pi^2}{6} }\) i natknąłem się tam na linijkę:
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} (xy)^ndxdy= \int \int _{\left[ 0,1\right]^2} \sum_{n=0}^{\infty}(xy)^ndA_{xy} }\).

I mam pytanie czy ta równość w sensie ta zmiana kolejności sumowania i całkowania jest oczywista czy wymaga jednak jakiegoś komentarza i jeśli tak to jakiego?

A możesz to jakoś rozpisać? Nie znam twierdzenia Tonellego, ale widzę, że jest twierdzenie Fubiniego, tylko nie wiem jak to zastosować w tym przypadku, bo tam jest o zamianie kolejności całkowania, a nie o zamianie kolejności sumowania i całkowania.

Twierdzenie Tonellego to przyjaźnie wysłowiona wersja twierdzenie Fubiniego dla funkcji nieujemnych. Jeśli chcesz to możesz poszukać pod nazwą Fubini–Tonelli theorem. Co do zamiany sumy z całką to nie ma problemu bo suma to jest całka po \(\displaystyle{ \sigma}\)-skończona mierze liczącej określonej na \(\displaystyle{ \mathcal{P}(\NN)}\). Więc krok pierwszy to zamiana całki iterowanej na całkę po \(\displaystyle{ 2}\)-wymiarowej mierze Lebesugue'a (mierze produktowej \(\displaystyle{ 1}\)-wymiarowych miar Lebesugue'a \(\displaystyle{ \lambda}\))


A krok drugi to zamiana całki po mierze liczącej z całką względem \(\displaystyle{ \lambda \otimes \lambda}\). To jest

Aha ok, czyli jak rozumiem Ty po prostu traktujesz tę sumę jako całkę po pewnej mierze po liczbach naturalnych. Stąd jest Twoja pierwsza równość w kroku drugim. A potem twierdzenie Tonellego pozwala nam zamienić kolejność całkowania i po tej zamianie wracasz znów do pierwotnej interpretacji sumy. Zgadza się?

A znasz może jakiś artykuł w internecie, gdzie byłoby opisane, że sumę możemy traktować właśnie jako całkę po odpowiedniej mierze? Bo w sumie znam i sumy i całki, ale jakoś nie widzę związku między jednym, a drugim.

Tyle tylko, że trzeba dokładnie sprawdzić czy są spełnione założenia. Bo na ogół w nieskończonym przypadku zamiana sum może prowadzić do różnych wyników

max123321 pisze: ↑9 maja 2023, o 18:31 Aha ok, czyli jak rozumiem Ty po prostu traktujesz tę sumę jako całkę po pewnej mierze po liczbach naturalnych. Stąd jest Twoja pierwsza równość w kroku drugim. A potem twierdzenie Tonellego pozwala nam zamienić kolejność całkowania i po tej zamianie wracasz znów do pierwotnej interpretacji sumy. Zgadza się?

Tak. Choć nie jest to pewna miara na \(\displaystyle{ \mathcal{P}(\NN)}\) tylko bardzo konkretna miara; miara licząca.

max123321 pisze: ↑9 maja 2023, o 18:31 A znasz może jakiś artykuł w internecie, gdzie byłoby opisane, że sumę możemy traktować właśnie jako całkę po odpowiedniej mierze? Bo w sumie znam i sumy i całki, ale jakoś nie widzę związku między jednym, a drugim.

To znany fakt o mierze liczącej. Dowód pozostawiam jako ćwiczenie. Jak poszukasz w necie to znajdziesz.

a4karo pisze: ↑9 maja 2023, o 18:53 Tyle tylko, że trzeba dokładnie sprawdzić czy są spełnione założenia. Bo na ogół w nieskończonym przypadku zamiana sum może prowadzić do różnych wyników

O jakich założeniach mówisz? Tw. Tonellego? To znaczy nieujemność funkcji? Czy \(\displaystyle{ \sigma}\)-skończoność miar?