Do policzenia mam taką całkę:
\(\displaystyle{ \int \frac{ \mbox{d}x }{\left( x^{2} - 4x +13 \right) ^{2} }}\)
Doprowadzam ją do postaci:
\(\displaystyle{ \frac{1}{27} \int \frac{ \mbox{d}t }{\left( t^{2} +1 \right) ^{2} }}\), gdzie \(\displaystyle{ t = \frac{x-2}{3}}\)
Co mam zrobić dalej?
Problem z całką nieoznaczoną
-
- Użytkownik
- Posty: 32
- Rejestracja: 16 sie 2011, o 16:11
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 5 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 69
- Rejestracja: 20 lip 2010, o 09:23
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Opole
- Podziękował: 15 razy
- Pomógł: 1 raz
Problem z całką nieoznaczoną
Zakładam, że podstawienie jest poprawne (na razie nie sprawdzam).
Spróbuj rozkład na ułamki proste.
Można też przekształcić:
\(\displaystyle{ \int \frac{1}{(t^2+1)^2} dt = \int \frac{t^2+1 - t^2}{(t^2+1)^2} dt = \int \frac{dt}{t^2+1} dt - \int \frac{t^2}{(t^2+1)^2} dt}\)
Ale chyba lepiej od razu rozklad na ulamki proste.
Spróbuj rozkład na ułamki proste.
Można też przekształcić:
\(\displaystyle{ \int \frac{1}{(t^2+1)^2} dt = \int \frac{t^2+1 - t^2}{(t^2+1)^2} dt = \int \frac{dt}{t^2+1} dt - \int \frac{t^2}{(t^2+1)^2} dt}\)
Ale chyba lepiej od razu rozklad na ulamki proste.
-
- Użytkownik
- Posty: 1106
- Rejestracja: 1 lip 2010, o 15:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: toruń
- Pomógł: 153 razy
Problem z całką nieoznaczoną
niech \(\displaystyle{ I_2= \int \frac{1}{(t^2+1)^2} \mbox{d}t}\) teraz scałkuj przez części biorąc \(\displaystyle{ f^{\prime}(t)=1}\) oraz \(\displaystyle{ g(t)=\frac{1}{(t^2+1)^2}}\). dalej rozbij całkę \(\displaystyle{ \int \frac{t^2}{(t^2+1)^3} \mbox{d}t = \int \frac{(t^2+1)}{(t^2+1)^3} \mbox{d}t - \int \frac{1}{(t^2+1)^3} \mbox{d}t}\). Stąd uzyskasz wzór rekurencyjny wyrażający \(\displaystyle{ I_2}\) w zależności od \(\displaystyle{ I_1}\), które znasz. pozdrawiam!
-
- Użytkownik
- Posty: 113
- Rejestracja: 23 lis 2010, o 17:59
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Pomógł: 20 razy
Problem z całką nieoznaczoną
Można też podstawić \(\displaystyle{ t=\tg u}\) i skorzystać z równości \(\displaystyle{ \tg^2 u+1=\frac{1}{\cos^2 u}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 32
- Rejestracja: 16 sie 2011, o 16:11
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 5 razy
Problem z całką nieoznaczoną
Nie rozumiem żadnego z tych sposobów. Jak mogę rozbić taką postać na ułamki proste, bo to wygląda najprościej?