Matematyka.pl

cześć, mam ogromny problem z zadaniami tego typu:
Podać przykład funkcji f takiej, że:
\(\displaystyle{ \int_{1}^{3} f(x)dx= \infty}\)
\(\displaystyle{ \int_{0}^{5} f(x)=0 \wedge \int_{0}^{2}f(x)=-3}\)
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1}f(x)dx=- \infty}\) tutaj wpadłem na funkcję \(\displaystyle{ \frac{\ln x}{x}}\)
\(\displaystyle{ \int_{0}^{ \infty }}\) jest liczbą skończoną, tutaj wymyśliłem \(\displaystyle{ e ^{-x}}\)

jednak w tych dwóch pierwszych nie umiem nic wymyślić i ogólnie mam problem z tego typu zadaniami, z góry dzięki za pomoc : )

1. Spróbuj coś z funkcją typu \(\displaystyle{ f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}}\) dookreśloną w jedynce/trójce.

2. Zacznij od drugiego warunku a potem dorysuj tak, by wyszła funkcja antysymetryczna względem środka przedziału całkowania \(\displaystyle{ [0,5]}\).

1. co znaczy z dookreśloną bo nie mam pojęcia ?
2. niestety też mi to nic nie pomaga, a jak mam to rysować? bo do tej pory to do odpowiedzi dochodziłem metoda prób i błędów..

Dookreślić oznacza tyle co określić w jakimś miejscu funkcję. Funkcja podana przeze mnie ma to do siebie, że w punkcie \(\displaystyle{ x=-\frac{d}{c}}\) ma osobliwość w mianowniku. A zatem w tym punkcie trzeba jakoś zdefiniować funkcję.

Chociaż jak teraz myślę, to nie jest to potrzebne. Wystarczy określić funkcję na przedziale \(\displaystyle{ [1,3)}\).

Co do drugiego: Weź dowolną funkcję spełniającą drugi warunek (może być funkcja stała). Połącz punkt jej wykresu o odciętej \(\displaystyle{ x=2}\) z punktem \(\displaystyle{ (2.5,0)}\) w sposób liniowy. A następnie... ?

1. Możesz pokombinować z przesunięciem o wektor funkcji \(\displaystyle{ y = \frac{1}{x}}\)
2. np. \(\displaystyle{ y = x - \frac{5}{2}}\) - pomyśl skąd to wynika.