Matematyka.pl

Mam następujący przykład:
\(\displaystyle{ \iint_{S}x^{2}dydz+y^{2}dxdz+z^{2}dxdy}\)
Gdzie S wynosi \(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}\\x \ge 0\\y \ge 0 \\ z \ge 0 \end{array}}\)
Rozdzielam więc na 3 całki:
1. \(\displaystyle{ I_{1}=\iint_{S}x^{2}dydz}\)
\(\displaystyle{ x^{2}=R^{2}-z^{2}-y^{2}}\)
\(\displaystyle{ I_{1}=-\iint_{D}(R^{2}-z^{2}-y^{2})dydz}\)

Skąd wiadomo, że mam umieścić "\(\displaystyle{ -}\)" przed całką?
Wg mnie gdy wezmę wektor "trzymający" tą 1/8 sfery (będącą moim obszarem) to dla każdej zmiennej (x,y,z) zmierza on w kierunku dodatnim na każdej osi, czyli minusa nie powinno być.
Gdzie jest błąd w moim rozumowaniu?

Nie podajesz orientacji powierzchni. Minus dla orientacji w dół.

szw1710 pisze:Nie podajesz orientacji powierzchni. Minus dla orientacji w dół.

Mógłby Pan nieco rozjaśnić? Skąd ta orientacja? Jak ją określić?
Myślałem, że skoro cały badany D jest w dodatniej części każdej z osi, to znak będzie "+".

Jest to całka powierzchniowa zorientowana i nic do rzeczy nie ma, że powierzchnia leży w pierwszym oktancie. Są dwie orientacje, umownie nazywane "w górę" bądź "w dół". Całki względem obu orientacji różnią się tylko znakiem. Poczytaj Krysickiego. Dobrej nocy.