Jak określić mój obszar całkowania
\(\displaystyle{ D : (x-1) ^{2} + (y-1) ^{2} \le 2 , x \ge 0, y \ge 0}\) w zależności od r i \(\displaystyle{ \alpha}\) ?
Jedyne co mi udało się wymyślić to że ten obszar trzeba podzielić na pół, w pierwszej części
\(\displaystyle{ 0 \le \alpha \le \frac{ \pi }{4}}\) i \(\displaystyle{ 2 \le r \le 2 \sqrt{2} \cos( \alpha )}\)
Tego nie jestem pewny. Jak tu uzależnić promień od kąta? A drugiej połówki tego niepełnego koła nie wiem jak rozpisać. HELP !
Określenie obszaru całkowania we współrzędnych biegunowych
-
maturzysta234
- Użytkownik
- Posty: 62
- Rejestracja: 22 cze 2011, o 13:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: małopolska
-
Jacek_Karwatka
- Użytkownik
- Posty: 351
- Rejestracja: 2 maja 2012, o 16:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 94 razy
Określenie obszaru całkowania we współrzędnych biegunowych
Ja bym podzielił obszar na dwie części wzdłuż prostej \(\displaystyle{ x+y=2}\)
w trójkątnym obszarze poniżej prostej można scałkować w zmiennych xy.
\(\displaystyle{ \int_{0}^{2} \int_{y=0}^{y=2-x} f(x,y)dydx}\)
Dla półokrągłego obszaru powyżej prostej zastosowałbym współrzędne biegunowe.
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=1+r\sin(\alpha) \\ y=1+r\cos(\alpha) \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ f(x,y) = f(1+r\sin(\alpha), 1+r\cos(\alpha))}\)
\(\displaystyle{ \int_{r=0}^{r= \sqrt{2} } \int_{\alpha = - \frac{ \pi }{4} }^{\alpha= \frac{3\pi}{4} } f(1+r\sin(\alpha), 1+r\cos(\alpha)) d \alpha dr}\)
w trójkątnym obszarze poniżej prostej można scałkować w zmiennych xy.
\(\displaystyle{ \int_{0}^{2} \int_{y=0}^{y=2-x} f(x,y)dydx}\)
Dla półokrągłego obszaru powyżej prostej zastosowałbym współrzędne biegunowe.
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=1+r\sin(\alpha) \\ y=1+r\cos(\alpha) \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ f(x,y) = f(1+r\sin(\alpha), 1+r\cos(\alpha))}\)
\(\displaystyle{ \int_{r=0}^{r= \sqrt{2} } \int_{\alpha = - \frac{ \pi }{4} }^{\alpha= \frac{3\pi}{4} } f(1+r\sin(\alpha), 1+r\cos(\alpha)) d \alpha dr}\)