Matematyka.pl

Obliczyć moment bezwładności bryły ograniczonej powierzchnia \(\displaystyle{ z= x^{2}+y ^{2} , z =2+ \sqrt{x ^{2} +y ^{2} }}\) której gęstość objętościowa w każdym punkcie jest równa \(\displaystyle{ g(x,y,z)=z}\)

Ja bym tu przeszedł na współrzędne walcowe. Mamy paraboloidę obrotową i stożek wychodzący z punktu 2, czyli podstawiamy \(\displaystyle{ x=r\cos t \\ y=r\sin t \\ z=h}\) i mamy:
\(\displaystyle{ r\in[0,2] \\ t\in[0,2\pi] \\ h\in[r^2,2+r]}\)

Podstawiając do wzoru na moment bezwładności
\(\displaystyle{ \iiint_D (y^2+z^2)\varrho \mbox{d}x \mbox{d}y \mbox{d}z}\)
otrzymujemy
\(\displaystyle{ \int_0^2\int_0^{2\pi}\int_{r^2}^{2+r} \left( r^2\sin^2 t+h^2\right)rh \ \mbox{d}h \mbox{d}t \mbox{d}r}\)
Mam nadzieję, że się nigdzie nie pomyliłem...

Dużo mi to nie dało... nie ma jakiegos prostszego sposobu ?

Inaczej to chyba się nie da, przynajmniej ja nie znam innego sposobu

Ja znam prostszy sposób ,ale obawiam się ,że nie zrozumiesz ... weź spróbuj skorzystać z całki potrójnej !

A jaki znasz prostszy sposób?