Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchnią:
\(\displaystyle{ a ^{2}y ^{2} + x ^{2}z ^{2} = r ^{2}x ^{2}}\)
i płaszczyznami:
\(\displaystyle{ x = 0, x = a}\)
Oblicz objętość bryły
-
kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8708
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 335 razy
- Pomógł: 3431 razy
Re: Oblicz objętość bryły
Niech \(\displaystyle{ a>0 \ \ \wedge \ \ r>0}\)
1)
\(\displaystyle{ x=0 \ \ \ \ \Rightarrow \\
a^2y^2=0\\
y=0 \wedge z \in \RR}\)
2)
\(\displaystyle{ x=a \ \ \ \ \Rightarrow \\
a^2y^2+a^2z^2=a^2r^2\\
y^2+z^2=r^2}\)
\(\displaystyle{ V= \int_{-r}^{r}\left( \int_{- \sqrt{r^2-z^2} }^{ \sqrt{r^2-z^2} } \left(a-a \sqrt{ \frac{y^2}{r^2-z^2} } \right) \mbox{d}y \right) \mbox{d}z =...}\)
Ponieważ fragmenty objętości w każdej z ćwiartek są przystające to:
\(\displaystyle{ ...=4 \int_{0}^{r}\left( \int_{0 }^{ \sqrt{r^2-z^2} } \left(a- \frac{ay}{ \sqrt{r^2-z^2} } \right) \mbox{d}y \right) \mbox{d}z =2a\int_{0}^{r}\sqrt{r^2-z^2} \mbox{d}z= \\=2a\left( \frac{z\sqrt{r^2-z^2}}{2}+ \frac{r^2}{2}\arcsin \frac{z}{r} \right)\bigg| _{0}^{r}
=0+ar^2\arcsin 1-0-ar^2\arcsin 0 = \frac{ \pi }{2} ar^2}\)
1)
\(\displaystyle{ x=0 \ \ \ \ \Rightarrow \\
a^2y^2=0\\
y=0 \wedge z \in \RR}\)
2)
\(\displaystyle{ x=a \ \ \ \ \Rightarrow \\
a^2y^2+a^2z^2=a^2r^2\\
y^2+z^2=r^2}\)
\(\displaystyle{ V= \int_{-r}^{r}\left( \int_{- \sqrt{r^2-z^2} }^{ \sqrt{r^2-z^2} } \left(a-a \sqrt{ \frac{y^2}{r^2-z^2} } \right) \mbox{d}y \right) \mbox{d}z =...}\)
Ponieważ fragmenty objętości w każdej z ćwiartek są przystające to:
\(\displaystyle{ ...=4 \int_{0}^{r}\left( \int_{0 }^{ \sqrt{r^2-z^2} } \left(a- \frac{ay}{ \sqrt{r^2-z^2} } \right) \mbox{d}y \right) \mbox{d}z =2a\int_{0}^{r}\sqrt{r^2-z^2} \mbox{d}z= \\=2a\left( \frac{z\sqrt{r^2-z^2}}{2}+ \frac{r^2}{2}\arcsin \frac{z}{r} \right)\bigg| _{0}^{r}
=0+ar^2\arcsin 1-0-ar^2\arcsin 0 = \frac{ \pi }{2} ar^2}\)
Ostatnio zmieniony 25 sty 2019, o 16:29 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.