Matematyka.pl

Oblicz objętość bryły ograniczonej płaszczyznami
\(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2=5}\)
\(\displaystyle{ x^2+y^2=z-1}\)

Nie wiem jak zabrać się za to zadanie.
Zamieniłem na wspolrzedne biegunowe, wyliczyłem granice całkowania dla r [0,1].
teraz wystarczy policzyc całke, czy cos zle zrobilem?
Pozdrawiam

Rozumiem, że otrzymałeś \(\displaystyle{ z=-3 \vee z=2}\). są to równania płaszczyzn, w których obie te bryły mogą mieć punkty wspólne.

\(\displaystyle{ z=-3}\) odrzucamy, bo w przypadku bryły \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=z-1}\) mielibyśmy \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=-4}\), a to jest zbiór pusty.

Pozostaje \(\displaystyle{ z=2}\). Podstawiając tę wartość do któregokolwiek z równań, otrzymujemy \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=1}\). To jest brzeg obszaru, po którym będziemy liczyć całkę.

Jak narysujesz sobie te figury, zobaczysz, że szukaną bryłę ogranicza "górna" (\(\displaystyle{ z \ge 0}\)), a nie "dolna" pólkula kuli \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}+z^{2}=5}\), czyli jako wzór funkcji \(\displaystyle{ z}\) bierzemy \(\displaystyle{ z=\sqrt{5-x^{2}-y^{2}}}\) (a nie \(\displaystyle{ z=-\sqrt{5-x^{2}-y^{2}}}\)). Zobaczysz też, że ta półkula znajduje się nad paraboloidą \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=z-1}\)

Musisz zatem obliczyć całkę \(\displaystyle{ \int \int_{D} (\sqrt{5-x^{2}-y^{2}}-(x^{2}+y^{2}+1))dxdy}\) (od wzoru pólkuli odejmujemy wzór paraboloidy), gdzie \(\displaystyle{ D:x^{2}+y^{2} \le 1}\). Przechodzimy oczywiście na współrzędne biegunowe.

czyli wychodzi
\(\displaystyle{ \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} \sqrt{5-r^2}-(r^2+1)drd\theta}\)
?

Blisko. Pamiętaj, że w takich zadaniach przy zamianie zmiennych zawsze \(\displaystyle{ dx \cdot dy=r \cdot dr \cdot d\varphi}\).