Matematyka.pl

Dodajmy do funkcji podcałkowej pewne zero
\(\displaystyle{ \int{\frac{x}{\sqrt{e^{x}+\left( x+2\right)^2 }} \mbox{d}x} = \int{\left(1+\left(\frac{x}{\sqrt{e^{x}+\left( x+2\right)^2 }} - 1\right)\right)\mbox{d}x}}\)
Skorzystajmy z liniowości całki
\(\displaystyle{ \int{\frac{x}{\sqrt{e^{x}+\left( x+2\right)^2 }} \mbox{d}x} = \int{1 \cdot \mbox{d}x} + \int{\left( \frac{x}{\sqrt{e^{x}+\left( x+2\right)^2 }} - 1\right) \mbox{d}x}\\
\int{\frac{x}{\sqrt{e^{x}+\left( x+2\right)^2 }} \mbox{d}x} = \int{1 \cdot \mbox{d}x} + \int{\frac{x-\sqrt{e^{x}+\left( x+2\right)^2 }}{\sqrt{e^{x}+\left( x+2\right)^2 }} \mbox{d}x}\\
}\)
Pierwsza całka jest łatwa
Pomnóżmy funkcję podcałkową drugiej całki przez pewną jedynkę
\(\displaystyle{ int{\frac{x}{\sqrt{e^{x}+\left( x+2\right)^2 }} \mbox{d}x} = \int{1 \cdot \mbox{d}x} + \int{\frac{x-\sqrt{e^{x}+\left( x+2\right)^2 }}{\sqrt{e^{x}+\left( x+2\right)^2 }} \cdot \frac{x+2+\sqrt{e^{x}+\left( \left( x+2\right)^2 \right) }}{x+2+\sqrt{e^{x}+\left( \left( x+2\right)^2 \right) }} \mbox{d}x}\\}\)
Gdy wymnożymy wyrażenie w liczniku zauważymy że pasującym podstawieniem będzie
\(\displaystyle{ t = x+2+\sqrt{e^{x}+\left( \left( x+2\right)^2 \right) }}\)