Matematyka.pl

Znaleźć objętość bryły ograniczonej powierzchniami:
1. \(\displaystyle{ z=xy, x+y+z=1, z=0}\)
2. \(\displaystyle{ u=\cos x\cos y, z=0, \left| x+y \right| \le \frac{1}{2} \pi, \left| x-y\right| \le \frac{1}{2} \pi }\)
oraz mam takie zadanie:
Osie dwóch powierzchni walcowych o tym samym promieniu a przecinają się pod kątem prostym. Obliczyć wspólną objętość obu walców. Proszę o pomoc z zadaniami

Zadanie 1

Powierzchnia hiperboloidy \(\displaystyle{ z = xy }\) z płaszczyzną \(\displaystyle{ x+y +z = 1 }\) przecina się wzdłuż krzywej, której rzut na płaszczyznę \(\displaystyle{ Oxy }\) ma postać:

\(\displaystyle{ \begin{cases} z = xy \\ x+y+z= 1\\ z = 0 \end{cases} \leftrightarrow xy = 1-y -x \leftrightarrow y(1+x) = 1-x \leftrightarrow y = \frac{1-x}{1+x}. }\)

Obszarem całkowania jest trójkąt \(\displaystyle{ \Delta = \left \{ (x,y): 0 \leq x \leq 1, \ \ 0 \leq y \leq 1-x \right\}.}\) który przedstawiamy w postaci sumy zbiorów

\(\displaystyle{ \Delta = \Delta_{1} \cup \Delta_{2} = \left\{ 0 \leq x \leq 1, \ \ 0 \leq y \leq \frac{1-x}{1+x} \right\} \cup \left\{ 0\leq x \leq 1, \ \ \frac{1-x}{1+x}\leq y \leq 1-x \right\} }\)

Na zbiorze \(\displaystyle{ \Delta_{1} }\) funkcja podcałkowa ma postać \(\displaystyle{ f(x,y) = xy, }\) na zbiorze \(\displaystyle{ \Delta_{2} \ \ f(x,y) = 1-(x+y).}\)

Stąd objętość bryły

\(\displaystyle{ |V| = \iint_{\Delta} f(x,y) dx dy = \iint_{\Delta_{1} \cup \Delta_{2}} f(x,y)dxdy = \int_{0}^{1} x dx \int_{0}^{\frac{1-x}{1+x}} ydy + \int_{0}^{1} dx \int_{\frac{1-x}{1+x}}^{1-x} (1-x-y)dy = c_{1}+c_{2}. }\)

Proszę obliczyć nietrudne całki \(\displaystyle{ c_{1}, c_{2}. }\)

Dodano po 12 godzinach 39 minutach 26 sekundach:
Zadanie 2

\(\displaystyle{ z = \cos(x)\cos(y), \ \ z =0, \ \ |x+y|\leq \frac{\pi}{2}, \ \ |x-y| \leq \frac{\pi}{2}.}\)

Bryła ograniczona z góry powierzchnią \(\displaystyle{ z = \cos(x)\cos(y),}\) z dołu płaszczyzną \(\displaystyle{ Oxy, }\) z boków płaszczyznami \(\displaystyle{ |x+y|=\frac{\pi}{2}, \ \ |x-y| = \frac{\pi}{2},}\) które na płaszczyźnie \(\displaystyle{ Oxy }\) wycinają kwadrat \(\displaystyle{ \mathcal{K} = \left\{(x,y): |x+y|=\frac{\pi}{2}, \ \ |x-y| = \frac{\pi}{2} \right \}.}\)

Stąd objętość bryły:

\(\displaystyle{ |V|=\iint_{\mathcal{K}} \cos(x)\cos(y)dxdy = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0}\cos(x)dx \int_{-(x+\frac{\pi}{2})}^{(x+\frac{\pi}{2})} \cos(y)dy + \int_{0} ^{\frac{\pi}{2}}\cos(x)dx \int_{(x-\frac{\pi}{2})}^{-(x-\frac{\pi}{2})} \cos(y)dy = c_{1} + c_{2}.}\)

\(\displaystyle{ c_{1}= \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0}\cos(x)dx \int_{-(x+\frac{\pi}{2})}^{(x+\frac{\pi}{2})} \cos(y)dy = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0}\cos(x)\cdot 2\sin\left(x+ \frac{\pi}{2}\right) dx = 2\int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} \cos^2(x)dx = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0}(1 + \cos(2x))dx = \left [ x + \frac{1}{2}\sin(2x)\right]_{-\frac{\pi}{2}}^{0}= }\)

\(\displaystyle{ = 0 +0+ \frac{\pi}{2}- 0 = \frac{\pi}{2}. }\)

Wartość całki \(\displaystyle{ c_{2} }\) ze względu na symetrię obszaru całkowania jest taka sama.

Sprawdzamy
\(\displaystyle{ c_{2} = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos(x)dx \int_{(x-\frac{\pi}{2})}^{-(x-\frac{\pi}{2})} \cos(y)dy = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}2\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\cos(x)dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2 \cos^2(x)dx =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} [1+\cos(2x)] = \left[x + \frac{1}{2}\sin(2x)\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}= }\)

\(\displaystyle{ = \frac{\pi}{2} + 0 + 0 - 0 = \frac{\pi}{2}.}\)

\(\displaystyle{ |V| = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = \pi.}\)

Dodano po 2 godzinach 47 minutach 16 sekundach:
Zadanie 3

Załóżmy, że dwa walce są położone w I oktancie kartezjańskiego układu współrzędnych \(\displaystyle{ Oxyz }\) tak, że ich podstawy są styczne do płaszczyzn \(\displaystyle{ Oxy }\) i \(\displaystyle{ Oyz. }\)

Równania walców:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2 + y^2 = r^2 \\ y^2 + z^2 = r^2 \end{cases} }\)

Ze względu na symetrię rozważamy \(\displaystyle{ \frac{1}{8} |V| }\) bryły.

\(\displaystyle{ \frac{1}{8}|V| = \iint_{D} \sqrt{r^2 -x^2}dx dy = \int_{0}^{r} \sqrt{a^2 -r^2}dx \int_{0}^{\sqrt{a^2-x^2}}dy \int_{0}^{r} (r^2-x^2)dx=\left[r^2x -\frac{1}{3}x^3\right]_{0}^{r} = r^3 -\frac{1}{3}r^3 = \frac{2}{3}r^3. }\)

Stąd

\(\displaystyle{ |V| = 8 \cdot \frac{2}{3}r^3 = \frac{16}{3} r^3.}\)