Matematyka.pl

Zadanie
Proszę obliczyć objętość obszaru ograniczonego powierzchniami stożka \(\displaystyle{ z^2 = x^2 +y^2 }\) i sfery \(\displaystyle{ x^2 +y^2 +z^2 = 2. }\)

Rozwiązanie

Obliczamy współrzędne punktów przecięcia się sfery i stożka:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2 +y^2 = z^2 \\ x^2 +y^2 + z^2 = 2 \end{cases} }\)

Podstawiamy pierwsze równania do równania drugiego:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2 +y^2 = z^2 \\ z^2 + z^2 = 2 \end{cases} }\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2 +y^2 = z^2 \\ 2 z^2 = 2 \end{cases} }\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2 +y^2 = z^2 \\ z^2 = 1 \end{cases} }\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2 +y^2 = z^2 \\ |z| = 1 \end{cases} }\)

Zapisujemy przestrzeń zawartą między stożkiem i sferą we współrzędnych walcowych (cylindrycznych) \(\displaystyle{ (\phi, r, z ):}\)

\(\displaystyle{ W = \{ 0 \leq \phi \leq 2\pi, \ \ 0 \leq r \leq 1, \ \ r \leq z \leq \sqrt{2- r^2} \} }\)

Objętość obszaru:

\(\displaystyle{ V = \int_{0}^{2\pi} d\phi \int_{0}^{1} rdr \int_{r}^{\sqrt{2-r^2}} dz }\)

\(\displaystyle{ I_{1} = \int_{r}^{\sqrt{2-r^2}} dz = z\mid_{r}^{\sqrt{2-r^2}} = \sqrt{2-r^2} - r.}\)

\(\displaystyle{ I_{2} = \int_{0}^{1} r(\sqrt{2-r^2} - r) dr = \int_{0}^{1}(r\sqrt{2-r^2} - r^2)dr = \int_{0}^{1}r\sqrt{2-r^2}dr - \int_{0}^{1}r^2 dr = I_{21} - I_{22} \ \ (*)}\)

\(\displaystyle{ I_{21} = \int_{0}^{1}r\sqrt{2-r^2}dr : }\)

\(\displaystyle{ \sqrt{2-r^2} = u, \ \ 2 - r^2 = u^2,\ \ -2rdr = 2udu, \ \ rdr = -udu, }\)

\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|c|c|c|} \hline r & 0 & 1\\ \hline u & \sqrt{2} & 1 \\ \hline \end{tabular} }\)

\(\displaystyle{ I_{21} = \int_{\sqrt{2}}^{1} -u^2 du = -\frac{u^3}{3}\mid_{\sqrt{2}}^{1} = -\frac{1}{3} + \frac{2\sqrt{2}}{3}.}\)

\(\displaystyle{ I_{22} = \int_{0}^{1} r^2 dr = \frac{r^3}{3}\mid_{0}^{1} = \frac{1}{3}.}\)

Na podstawie \(\displaystyle{ (*) }\)

\(\displaystyle{ I_{2} = -\frac{1}{3} + \frac{2\sqrt{2}}{3} - \frac{1}{3} = -\frac{2}{3} + \frac{2\sqrt{2}}{3}. }\)

\(\displaystyle{ V = \int_{0}^{2\pi} \left(-\frac{2}{3} + \frac{2\sqrt{2}}{3} \right) d\phi = \left(-\frac{2}{3} + \frac{2\sqrt{2}}{3} \right) \phi \mid_{0}^{2\pi} = 2\pi \left( -\frac{2}{3}+\frac{2\sqrt{2}}{3} \right) = \frac{\pi}{3}\left(-4 + 4\sqrt{2}\right).}\)

Policzmy objętość części półkuli, która leży między stożkiem i płaszczyzną `z=0`.
Dla `-1\le h\le 0` przekrój tej bryły płaszczyzną `z=h` jest pierścieniem o promieniu zewnętrznym `\sqrt{2-h^2}` i wewnętrznym `h`, którego pole jest równe `P(h)=\pi(2-2h^2)`.
Objętość tej bryły jest zatem równa `\int_{-1}^0 P(h)dh=4/3\pi`.

Objętość bryły, o której mowa w zadaniu jest zatem równa `2/3\pi\sqrt{2}^3-4/3\pi=4/3\pi(\sqrt2-1)`.

Objętość tej "górnej" bryły można wyznaczyć bez całkowania. Jak wiemy, jej przekrój na poziomie `h` dany jest wzorem `P(h)=2-2h^2` i jest taki sam jak pole przekroju walca o wysokości `1` promieniu podstawy `\sqrt2`, z którego wydrążono stożek. Na mocy reguły Cavialieri (patrz Wiki) objętości obu tych brył są równe, a objętość wydrążonego walca to `\pi\sqrt{2}^2-1/3\pi\sqrt{2}^2=4/3\pi`.