Matematyka.pl

Witam
mam pytanko jak policzyć objętość bryły która jest ograniczona powierzchniami:


\(\displaystyle{ z=\sqrt{x^2+y^2}, x^2+y^2+z^2 qslant 8z}\)


chyba bezpośrednio nie da się tu zastosować współrzędnych sferycznych trzeba podzielić ten obszar na dwa ?? jak ktoś wie to niech pomoże i zrobi
z góry wielkie dzięki:)

Po pierwsze to druga nierówność nie opisuje powierzchni a pełną kulę. Przekształćmy najpierw jej wzór i zamieńmy zmienne tak by mieć kule w środku układu
\(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2-8z q 0 \\
x^2+y^2+(z-4)^2-16 q 0 \\
x^2+y^2+(z-4)^2 q 16}\)
Mamy więc kule o promieniu 4. Podstawmy w=z-4 i dostaniemy kule o środku w zerze i promieniu 4 przeciętą z połową stożka \(\displaystyle{ w=\sqrt{x^2+y^2}-4}\)
Jeśli dobrze przyjrzeć się wzorom widać że dla w

No dobra masz rację , teraz chcąc zrobić to jednak z całeczek i współrzędnych sferycznych, mamy:
\(\displaystyle{ x=r \cos \varphi \sin \theta}\)
\(\displaystyle{ y=r \sin \varphi \sin \theta}\)
\(\displaystyle{ z=r \cos \theta}\)
\(\displaystyle{ J=r^2 \sin \theta}\)

Wyliczając sobie teraz ze współrzędnych sferyczny zakres dolny r, czyli podstawiając do równania koła przesuniętego o jedną jednostkę w górę. Otrzymuje:

\(\displaystyle{ r=8 \cos \theta}\)

i teraz jak mam ograniczyć moje współrzędne sferyczne ?? tak żeby policzyć objętość fragmentu który został wycięty z kuli walcem ??

\(\displaystyle{ 0 qslant \varphi qslant 2 \pi ,\ 0\leqslant \theta qslant \frac{\pi}{4} ,\ 8 \cos \theta qslant r qslant 4}\) ??

Rozumiem że chcesz to robić bez przesunięcia. Jeśli chcesz operować wewnątrz sfery to ustalasz z tego co napisałeś \(\displaystyle{ r q 8 \cos \theta}\) Przedziały na kąty są dobrane dobrze. Przynajmniej tak to wygląda.

Masz teraz dwie metody więc jeśli w obu dostaniesz ten sam wyniki to musi być dobrze

Czyli jak ostatecznie powinno wyglądać ograniczenie dla r ?
i napewno po obliczeniu całki potrójnej po tym obszarze wyjdzie mi objętość części kuli którą wycina stożek ??

\(\displaystyle{ 0 qslant \varphi qslant 2 \pi ,\ 0\leqslant \theta qslant \frac{\pi}{4} ,\ 0 qslant r qslant \ 8 \cos \theta}\)

[ Dodano: 22 Czerwca 2008, 09:45 ]
Niech ktoś ruszy temat bo jak liczę w zakresie kata theta od 0 do pi/4 to mi wychodzi objętość bryły wyciętej przez stożek, a skoro przedział od 0 do pi/4 powinna wyjść chyba objętość tych fragmentów małych na dole .. .. ..

Powinieneś dostać obszar we wnętrzu stożka. Z tego powodu że we współrzędnych sferycznych trochę inaczej podstawiłeś funkcje trygonometryczne. W x i y dałeś sinus a w z cosinus. Standardowo robi się odwrotnie ale w tym przypadku to ma sens bo zamiast brać theta od pi/2 do pi/4 dostałeś przedział od 0 do pi/4.

Zakres na r masz dobry.

aha czyli żeby było tak standardowo to współrzędne powinny być:


\(\displaystyle{ x=r \cos \varphi \cos \theta}\)
\(\displaystyle{ y=r \sin \varphi \cos \theta}\)
\(\displaystyle{ z=r \sin \theta}\)
\(\displaystyle{ J=-r^2 \cos \theta}\)


\(\displaystyle{ \int_{0}^{2 \pi}d \varphi t_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}d \theta t_{0}^{8 \sin(\theta)} -r^2 \cos \theta dr}\)
Dobra i policzyłem całkę przyjąłem theta od pi/4 do pi/2 i wychodzi mi ta objętość we wnętrzu stożka dobra LECZ ze znakiem ujemnym:)
może r

Bo przy podstawianiu do całki wstawiasz moduł z Jakobianu
Poza tym pewnie coś w liczeniu jakobianu pokićkałeś bo moim zdaniem i tak powinien być dodatni.

wielkie dzięki:)