Matematyka.pl

Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami
\(\displaystyle{ z=\sqrt{x^2+y^2}, z=2-x^2-y^2.}\)
Wiem, że bryła od doły ograniczona jest stożkiem, od góry paraboloidą. Wiem, jak rozwiązać całkę (korzystając z współrzędnych biegunowych). Mam problem z wyznaczeniem rzutu na płaszczyznę xOy.
Jak to przekształcić \(\displaystyle{ \sqrt{x^2+y^2}=2-x^2-y^2}\) ?

\(\displaystyle{ D: \begin{cases} z = \sqrt{x^2+y^2} \\ z = 2 - x^2 -y^2 \end{cases} }\)

Część wspólna powierzchni stożka i paraboloidy:

\(\displaystyle{ z = 2 - z^2 \rightarrow z^2 +z -2 = 0 \rightarrow ( z_{1} = -2<0 \vee z_{2} = 1).}\)

Jeśli wykonamy rysunek we współrzędnych kartezjańskich \(\displaystyle{ Oxyz }\) i spojrzymy od góry osi \(\displaystyle{ Oz, }\) to zauważamy od góry kopułę paraboloidy, przecinającej oś \(\displaystyle{ Oz }\) w punkcie \(\displaystyle{ (0, 0, 2), }\) od dołu powierzchnię boczną stożka.

Niematematycznie - mamy "kulkę lodu w waflu".

Objętość bryły ograniczonej tymi powierzchniami jest równa:

\(\displaystyle{ |V| = \iint_{D} \left( 2 -x^2 -y^2 - \sqrt{x^2+y^2}\right ) dx dy.}\)

Do obliczenia całki użyjemy współrzędnych biegunowych.

\(\displaystyle{ \iint_{D} f(x, y)dx dy = \iint_{< 0, r, 0, 2\pi>} f(r\cos(\phi), r\sin(\phi))rdrd\phi }\)

Całkujemy w płaszczyźnie \(\displaystyle{ Oxy }\) po kole jednostkowym.

\(\displaystyle{ \mathcal{B} = \{(\phi, \ \ r): 0 \leq \phi \leq 2\pi, \ \ 0 < r < 1 \}, \ \ J(\phi, r) = r >0.}\)

\(\displaystyle{ |V| = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} r\left[ 2 -r^2 - \sqrt{r^2}\right] dr = \ \ ... }\)

Jak sobie przetniesz tę bryłę płaszczyzną przechodzącą przez oś OZ (np `y=0` to na tej płaszczyźnie zobaczysz odcinek `z=x` oraz kawałek paraboli`z=2-x^2`. wystarczy zastosować wzór na objętość bryły obrotowej - prosta pojedyncza całka.

Dodano po 12 minutach 4 sekundach:
Albo inaczej:
jezeli przetniesz bryłę nieskończonym walcem o promieniu `r`, którego oś jest równoległa do osi oz, to otrzymasz walec o wysokości `2-r^2-r`, którego powierzchnia boczna wynosi `2\pi r(2-r-r^2)` teraz wystarczy to przecałkowac od `0` do `1`.