Matematyka.pl

obliczyć granice ciągów z definicji całek oznaczonych

\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} \left( \frac{1}{n+1}+ \frac{1}{n+2}+ \frac{1}{n+3}+....+ \frac{1}{n+n} \right)}\)
ja zrobiłem tak:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{n+i}}\) = \(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{1+ \frac{i}{n}}}\)= \(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{1} \frac{dx}{1+x}}\)

Czy mógłby ktoś powiedziec czy to dobrze zrobiłem ?, bo wydaje mi sie że nie, a nie wiem jak to dokąłdnie zrobić.

Tak (nie liczac literowek )
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{1+ n} = \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{1+ \frac{i}{n}} \cdot \frac{1}{n} = \int_0^1 \frac{dx}{x+1}}\)

przonak007 pisze: \(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{n+i}}\) = \(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{1+ \frac{i}{n}}}\)= \(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{1} \frac{dx}{1+x}}\)

W środkowej części zgubiłeś \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\). Powinno być
\(\displaystyle{ \ldots=\lim_{x\to\infty} \frac{1}{n}\; \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{1+ \frac{i}{n}}=\ldots}\)

Wtedy rachunki będą w porządku, ale chyba same rachunki to nie jest jeszcze rozwiązanie zadania. Trzeba jeszcze uzasadnienie jakieś podać. Uzasadnić, że wyrażenie jest sumą Riemanna, że średnica podziału dąży do zera, stwierdzić że całka Riemanna istnieje.

wynik nie powinien być

\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{1} \frac{dx}{x^{2}+1}}\)

przonak007 pisze:wynik nie powinien być

\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{1} \frac{dx}{x^{2}+1}}\)

Masz rację. Wynik nie powinien taki być. Powinien być taki jak podałeś na początku. Zresztą da się taką granicę policzyć też bez całek, korzystając tylko z nierówności

\(\displaystyle{ \frac{x}{x+1}\le\ln(1+x)\le x}\).

Czyli
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{1+ n} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{1+ \frac{i}{n}} = \int_0^1 \frac{dx}{x+1} = ln \left[ x+1 \right]^{1} _{0}= ln \left[ 1+1 \right]^{1} - ln\left[ 0+1 \right] ^{0} = ln 2- ln 1= ln 1}\)

A w odpowiedziach jest że wynik wynosi ln 2, mógłby ktoś podowiedzieć gdzie szukać błędu ?

przonak007 pisze: \(\displaystyle{ ln 2- ln 1= ln 1}\)

Wystarczy poprawić tę równość i będzie zgodnie z odpowiedzią.

Może zabrzmi to głupio , ale zastanawiam się od półtorej godziny nad tym równaniem i nic mi nie przychodzi do głowy. Albo wychodzi mi ln 1 lub –ln 1. Mógłbym prosić o kolejną wskazówkę do rozwiązania tego zadania?.

Wskazówka: sprawdź jak się definiuje logarytm (w szczególności logarytm naturalny) i jakie są podstawowe zasady działań na logarytmach.

Q.

\(\displaystyle{ \ln 2- \ln 1= \ln (2:1) = \ln 2}\)
a mnożenie jest wtedy gdy logarytmy sie dodaje.

Dziękuje wszystkim za cierpliwość i pomoc przy zadaniu.