Matematyka.pl

Oblicz długość krzywej danej równaniem \(\displaystyle{ r=4 (\sin \frac{t}{3})^3}\)
Przedział calkowania to \(\displaystyle{ (0, 3\pi)}\) ale jak podstawiam do wzoru to nie wiem jak liczyc.

czemu? jak powinno byc?

Agniezcka pisze:czemu? jak powinno byc?

Zacznę od początku - żadnego tępego wstawiania do wzoru )

Liczymy długość krzywej - aproksymujemy wyjściową krzywą przez funkcję kawałkami liniową. Długość takiego kawałeczka (tw. pitagorasa). Krzywa jest parametryzowana przez funkcje: x(t) i y(t).

\(\displaystyle{ \sqrt{x'(t) ^{2} + y'(t) ^{2} }dt=dr}\)

sumujemy dr - czyli całka

\(\displaystyle{ r= \int_{a}^{b}\sqrt{x'(t) ^{2} + y'(t) ^{2} }dt}\)

W Twoim przypadku:
Układ biegunowy (dzieki mariuszm za zwrocenie uwagi raz jeszcze)
\(\displaystyle{ r=f(t)}\)
\(\displaystyle{ x(t)=rcost=f(t)cost}\)
\(\displaystyle{ y(t)=rsint=f(t)sint}\)
Podstawiając do wzoru na górze i podnosząc do kwadratu etc mamy

\(\displaystyle{ r= \int_{t _{1} }^{t _{2} } \sqrt{f(t) ^{2} + f'(t) ^{2}}}\)

\(\displaystyle{ f'(t)=4*3(sin \frac{t}{3}) ^{2} *cos\frac{t}{3} * \frac{1}{3}}\)

Podstawiasz do całki, całkujesz w granicach 0 do 3Pi.
Napisz jak rozwiązujesz dalej.
Pzdr

AdamL, masz uklad biegunowy wiec

\(\displaystyle{ \int_{t_{1}}^{t_{2}}{ \sqrt{\left( r\left( t\right) \right)^2+\left( r^{\prime}\left( t\right) \right)^2 } \mbox{d}t}}\)

mariuszm pisze:AdamL, masz uklad biegunowy wiec

\(\displaystyle{ \int_{t_{1}}^{t_{2}}{ \sqrt{\left( r\left( t\right) \right)^2+\left( r^{\prime}\left( t\right) \right)^2 } \mbox{d}t}}\)

Jasne, nie zauwazylem, pozno bylo, ale dzieki