Witam, dawno nie mialem stycznosci z calkowaniem, a teraz mam kurs o transformacji Fouriera i nie bardzo wiem jak to ugryzc.Dodam ze nigdy nie calkowalem funkcji liczb zespolonych co dodatkowo zaciemnia mi zrozumienie tego.
Czy ktos moglby mi pokazac krok po kroku w jaki sposob obliczyc transformacje funkcji \(\displaystyle{ \begin{cases} 1\ dla - \frac{e}{2} \le x \le \frac{e}{2} & \\ 0\ w\ przeciwnym\ wypadku \end{cases}}\)
Calkowanie funkcji liczb zespolonych-transformacja Fouriera
-
maurycyszpak
- Użytkownik
- Posty: 3
- Rejestracja: 24 lis 2013, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Mars
-
Ptaq666
- Użytkownik
- Posty: 478
- Rejestracja: 10 wrz 2006, o 13:14
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Piła / Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 154 razy
Calkowanie funkcji liczb zespolonych-transformacja Fouriera
Definicja:
\(\displaystyle{ \hat{f}(\omega) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{- i \omega t} dt}\)
Dla Twojej funkcji to będzie:
\(\displaystyle{ \hat{f}(\omega) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{- i \omega t} dt = \int\limits_{-\infty}^{-\frac{e}{2}} f(t)e^{- i \omega t}dt + \int\limits_{-\frac{e}{2}}^{\frac{e}{2}} f(t)e^{- i \omega t}dt + \int\limits_{\frac{e}{2}}^{\infty} f(t)e^{- i \omega t}dt = 0 + \int\limits_{-\frac{e}{2}}^{\frac{e}{2}} 1 \cdot e^{- i \omega t}dt + 0 = \int\limits_{-\frac{e}{2}}^{\frac{e}{2}} 1 \cdot e^{- i \omega t}dt = \left. \frac{i e^{-i \omega t}}{\omega} \right|^{\frac{e}{2}}_{-\frac{e}{2}} = \frac{2 \sin(\frac{e\omega}{2})}{\omega}}\)
Ostatnie przekształcenie do funkcji trygonometrycznej wynika ze wzoru Eulera. Generalnie całkowanie funkcji zespolonych nie różni się niczym od całkowania funkcji rzeczywistych. Mam nadzieję, że pomogłem
\(\displaystyle{ \hat{f}(\omega) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{- i \omega t} dt}\)
Dla Twojej funkcji to będzie:
\(\displaystyle{ \hat{f}(\omega) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{- i \omega t} dt = \int\limits_{-\infty}^{-\frac{e}{2}} f(t)e^{- i \omega t}dt + \int\limits_{-\frac{e}{2}}^{\frac{e}{2}} f(t)e^{- i \omega t}dt + \int\limits_{\frac{e}{2}}^{\infty} f(t)e^{- i \omega t}dt = 0 + \int\limits_{-\frac{e}{2}}^{\frac{e}{2}} 1 \cdot e^{- i \omega t}dt + 0 = \int\limits_{-\frac{e}{2}}^{\frac{e}{2}} 1 \cdot e^{- i \omega t}dt = \left. \frac{i e^{-i \omega t}}{\omega} \right|^{\frac{e}{2}}_{-\frac{e}{2}} = \frac{2 \sin(\frac{e\omega}{2})}{\omega}}\)
Ostatnie przekształcenie do funkcji trygonometrycznej wynika ze wzoru Eulera. Generalnie całkowanie funkcji zespolonych nie różni się niczym od całkowania funkcji rzeczywistych. Mam nadzieję, że pomogłem