Matematyka.pl

Na egzaminie miałam do obliczenia następujące całki niestety jak się okazało źle to zrobiłam i nie zdałam, czy mogłabym prosić o rozwiązanie tych przykładów, abym mogła się na nich wzorować piszą poprawkę. Z gory bardzo dziękuje za pomoc!

1) \(\displaystyle{ \int\frac{1}{x^2}}\)

2) \(\displaystyle{ \int e^5^s^i^n^x2cosx dx}\)
3) \(\displaystyle{ \int\limits_{\infty}^{0}e^-^x dx}\)
4) \(\displaystyle{ \int\limits_{-1}^{1}\frac{1}{e^x-1}dx}\)
Bardzo proszę o pomoc, mimo włożonego wysiłku nie potrafiłam tego rozwiązać.

1) Skorzystaj ze wzoru:
\(\displaystyle{ \int x^{n} = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \\
t \frac{1}{x^2} dx = \frac{-1}{x} + C}\)
2)
\(\displaystyle{ \frac{2}{5} t e^{5sinx} 5cosx dx \\
t = 5sinx \\
dt = 5cosx dx \\
\frac{2}{5} t e^{t} dt = \frac{2}{5} e^{t} + C = \frac{2}{5} e^{5sinx} + C}\)
3)
\(\displaystyle{ \int_{\infty}^{0} e^{-x} dx = -\int_{0}^{\infty} e^{-x} dx = ft[ e^{-x} \right]_{0}^{\infty} = -1}\)

Dziękuje bardzo za pomoc, ale teraz jestem w szoku bo właśnie tak rozwiązałam na egzaminie widocznie miałam inne zadania źle albo 4 przykład, miałam jeszcze takie coś:
\(\displaystyle{ \int\frac{1}{cos^2x}dx}\)

A jaka jest pochodna funkcji \(\displaystyle{ tg(x)}\) ?

O kurcze, nieznajomość wzorów ja to próbowalam przez podstawianie zrobić, chba że pomyliłam i było samo cosx

Jeśli było samo cosx, to:
\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{cosx} = t \frac{dx}{sin( \frac{\pi}{2} + x)} = t \frac{dx}{2 sin( \frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}) cos (\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2})} = t \frac{dx}{ 2 cos^{2} (\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}) tg (\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4})} \\
t = tg (\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2})}\)
Powinno wyjść:
\(\displaystyle{ \ldots = ln| tg (\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4})| + C}\)

Możliwe że był właśnie ten przykład, dziękuje za pomoc w rozwiązaniu, a jak roziwązac przykład 4?