Matematyka.pl

Jak obliczyć te całki?
\(\displaystyle{ a) \ \int \frac{x^3-2x^2+2x}{x^2+2x-8}dx}\)
\(\displaystyle{ b) \ \int x^3\sin x^2dx}\)
Nie mam pojęcia jak poradzić sobie z licznikiem w pierwszym przykładzie.

Zacznij od podzielenia tych wielomianów, tak jak w szkole się robiło pod kreską, że na przykład \(\displaystyle{ \frac{x^2+1}{x-2} = x+2 +\frac{5}{x-2}}\).

a) \(\displaystyle{ x^3-2x^2+2x=x(x^2+2x-8)-4x^2+10x}\)

b) \(\displaystyle{ x^2=t}\)

JK

Chyba nie rozumiem jak się to dzieli. Wychodzi mi \(\displaystyle{ x-4}\) z resztą z dzielenia \(\displaystyle{ 17x-8}\). :/

Sprawdź jeszcze raz resztę, bo \(\displaystyle{ (x-4)}\) jest dobrze, ale reszta powinna być \(\displaystyle{ 18x-32}\).

Mogę jakoś załączyć zdjęcie na to forum? Bo otrzymałem resztę 17x-32 i nie widzę innej możliwości.

Dodano po 8 minutach 4 sekundach:
\(\displaystyle{ \ \ \ \ x-4\\ \ \ \ \ \text{------------------}\\ \ \ \ \ x^3-2x^2+x \ \ \ :x^2+2x-8 \\ -x^3-2x^2+8x \\ \ \ \ \ \text{------------------} \\ \ \ \ \ \ \ \ -4x^2+9x \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 4x^2+8x-32 \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{------------------} \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 17x-32}\)
Udało mi się stworzyć takie dzieło sztuki.

Dodano po 1 minucie 56 sekundach:
A nawet jeśli wychodzi \(\displaystyle{ 18x-32}\) to co zrobić dalej? W liceum powtarzali nam, że to nigdy nie będzie potrzebne i działaliśmy z tym przez podstawienie.

A, no to dobrze wychodzi \(\displaystyle{ 17}\), bo tutaj rozpisujesz przykład gdzie w liczniku jest \(\displaystyle{ x^3-2x^2+x}\), a w temacie napisałas \(\displaystyle{ x^3-2x^2+2x}\) : P

Ok, czyli po podzieleniu masz do policzenia całkę

\(\displaystyle{ \int x-4 + \frac{17x-32}{x^2+2x-8}\mbox{d}x}\)

Pierwsza dwa składniki to nie problem, nie? Czyli tak naprawdę zostaje

\(\displaystyle{ \int \frac{17x-32}{x^2+2x-8}\mbox{d}x}\)

A to już lecisz standardowo. Wyróżnik funkcji kwadratowej w mianowniku jest dodatni, więc to można rozłożyć, dalej rozkład na ułamki proste i scałkowanie do logarytmów. Nie wiem jak z tym sobie radzisz, więc rozpisałem ogólnie, ale gdybyś się zacinała w którymś momencie, to daj znać.

Dalej dam sobie radę. Wielkie dzięki za rozjaśnienie!