Matematyka.pl

Witam. Mam do przerobienia całki z Krysickiego. Z 62 całek połowę zrobiłem sam . Jedną czwartą znalazłem na tym forum (lub przykłady analogiczne). Ale nadal zostało parę, z którymi nie mam pojęcia co zrobić. Raczej nie będę potrzebował całkowitych rozwiązań, tylko wskazówkę co podstawić lub jaki "myk" zastosować. Z góry dzięki za pomoc.

PS. Pomijam "dx". Są to naturalnie całki nieoznaczone i powinno się je rozwiązywać elementarnymi sposobami.

1.
\(\displaystyle{ \int\frac{4\sqrt[4]{5x^3}}{6\sqrt[3]{x}}}\)
Tutaj wychodzi jakieś 125 do potęgi 17 w odpowiedziach. Jak do tego dojść?

2.
\(\displaystyle{ \int\frac{3+5\sqrt[3]{x^2}}{\sqrt{x^3}}}\)
Tu z koleji wydawało się proste i mi wyszło:
\(\displaystyle{ 2x^{\frac{2}{3}}+\frac{15}{4}x^{\frac{4}{3}}}\)
a w odpowiedziach zupełnie co innego:
\(\displaystyle{ \frac{-6}{\sqrt{x}}+30\sqrt[6]{x}}\)
Pomyłka? Czy ja coś źle zrobiłem?

3.
\(\displaystyle{ \int\frac{x-1}{\sqrt[3]{x^3+1}}}\)
Kilka wariantów tego widziałem na forum. Zazwyczaj ograniczało się to do "podstaw t=coś" i było kilka pomysłów ale nie udało mi się dojść do rozwiązania. Tutaj bym prosił o kompletne rozwiązanie.

4.
\(\displaystyle{ \int{xln(1+x^2)}}\)

5.
\(\displaystyle{ \int{6^{1-x}}}\)

6.
\(\displaystyle{ \int{\frac{ln\left|arctgx\right|}{1+x^2}}}\)

7.
\(\displaystyle{ \int{x^4(1+x)^3}}\)

8.
\(\displaystyle{ \int{x^2e^x}}\)

9.
\(\displaystyle{ \int{x^3e^x}}\)

10.
\(\displaystyle{ \int{x^4e^{2x}}}\)

Podejrzewam, że sposób rozwiązania 3 ostatnich jest jednakowy, tylko że nie znam tego sposobu
Zapewne prosta wskazówka mi pomoże

11.
\(\displaystyle{ \int{(ln\left|x\right|)^3}}\)

12.
\(\displaystyle{ \int{\frac{(ln\left|x\right|)^2}{x^5}}}\)

Tutaj otrzymałem wynik bardzo zbliżony do podanego w rozwiązaniach. Proszę wskazać mój błąd:

Na początek części:
\(\displaystyle{ f=(ln\left|x\right|)^2 => f^{'}=\frac{2}{x}}\)
\(\displaystyle{ g^{'}=x^{-5} => g=\frac{x^{-4}}{-4}}\)
Mamy:
\(\displaystyle{ \int{\frac{(ln\left|x\right|)^2}{x^5}}=}\)
\(\displaystyle{ =(ln\left|x\right|)^2*\frac{x^{-4}}{4}+\int{\frac{2x^{-4}}{4x}}=}\)
\(\displaystyle{ =(ln\left|x\right|)^2*\frac{x^{-4}}{4}+\frac{1}{2}\int{x^{-5}}=}\)
\(\displaystyle{ =(ln\left|x\right|)^2*\frac{x^{-4}}{4}+\frac{1}{2}*\frac{x^{-4}}{-4}=}\)
\(\displaystyle{ =(ln\left|x\right|)^2*\frac{8x^{-4}}{32}+\frac{4x^{-4}}{-32}}\)
No i jak nie wykombinować, nie wyjdzie mi odpowiedź z książki:
\(\displaystyle{ =-\frac{1}{32x^4}(8(ln\left|x\right|)^2+4ln\left|x\right|+1)}\)

Jeszcze raz z góry dzięki tym co pomogą.

jarekexe pisze:1.

doprowadź do postaci wielomianu i potem \(\displaystyle{ \int x^{n}=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C}\)

jarekexe pisze:2.

rozłóż na sumę ułamków i potem chyba nie powinno byc problemów

jarekexe pisze:4.

podstawienie \(\displaystyle{ t=1+x^{2}}\)

jarekexe pisze:5.

podstawienie 1-x=t

jarekexe pisze:6.

podstawienie t=arctgx

jarekexe pisze:7.

rozłożyc na wielomian i z wzoru \(\displaystyle{ \int x^{n}=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C}\)

jarekexe pisze:8., 9., 10.

przez części

4.
\(\displaystyle{ x^2+1=t, \ \ x dx = \frac{1}{2} dt \\
\frac{1}{2} \int \ln t dt \\}\)
8,9,10,6 przez czesci
\(\displaystyle{ 8. \ v=x^2, \ \ du = e^x \\}\)
12.
\(\displaystyle{ ( \ln |x|)^2{}' = 2 \frac{\ln|x|}{x} \\}\)
lepsze by bylo podstawienie
\(\displaystyle{ \ln x = t, \ \ \frac{dx}{x} = dt, \ \ x=e^t \\
\int \frac{t^2}{e^{4t}} =t^2 e^{-4t} dt}\)
dalej tak jak przyklad 8, podobnie zrob 12

Szybcy jesteście

No to po kolei bo nadal mam problemy.

1.
\(\displaystyle{ \int\frac{4\sqrt[4]{5x^3}}{6\sqrt[3]{x}}=\frac{2}{3}\int{\frac{5^\frac{1}{4}x^\frac{3}{4}}{x^\frac{1}{3}}}=}\)
\(\displaystyle{ =\frac{7}{2}\int{x^\frac{5}{12}}=\frac{7}{2}\int{\frac{x^\frac{17}{12}}{\frac{17}{12}}}=\frac{42}{17}\sqrt[12]{x^{17}}}\)

No i skąd tu ma się wziąść 125 pod pierwiastkiem?

[ Dodano: 28 Maj 2007, 19:20 ]
2.

No właśnie tak robiłem, ale weźmy pierwszy ułamek:

\(\displaystyle{ 3\int{\frac{1}{\sqrt{x^3}}}=3\int{x^{-\frac{1}{3}}}=3\frac{x^\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}}=\frac{9}{2}x^\frac{2}{3}}\)

A w odpowiedziach kompletnie co innego (patrz pierwszy post)

[ Dodano: 28 Maj 2007, 19:26 ]
4.

Sorki ale ile wynosi całka z logarytmu ?? byłem przekonany, że coś takiego nie istnieje.

5.

No tak też robiłem: t=1-x, dx=-dt
\(\displaystyle{ \int{6^{1-x}}=-\int{6^t}=-\frac{6^{t+1}}{t+1}=-\frac{6^x}{x}}\)

A tu w rozwiązaniu jakiś logarytm

[ Dodano: 28 Maj 2007, 19:32 ]
6.
Po podstawieniu t=arctgx otrzymuję znowu całkę z logarytmu Jak to się liczy??

7.
No tak... jakoś myślałem, że to będzie jakiś "myk" i się szybko policzy.

[ Dodano: 28 Maj 2007, 19:40 ]
8. Tak samo próbowałem :P

\(\displaystyle{ v=x^2=>dv=2x}\)
\(\displaystyle{ du=e^x=>u=e^x}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ 2xe^x-\int{2xe^x}=2xe^x-2\int{xe^x}}\)
Teraz chyba drugi raz przez części:
\(\displaystyle{ v=x=>dv=dx}\)
\(\displaystyle{ du=e^x=>u=e^x}\)
Mamy:
\(\displaystyle{ 2xe^x-2(xe^x-\int{e^x})=2xe^x-2xe^x+2e^x}\)
No i bardzo ładny wynik ale w odpowiedziach jest:
\(\displaystyle{ (x^2-2x+2)e^x}\)

[ Dodano: 28 Maj 2007, 19:42 ]
No i 12 nie tykam dopóki nie zrozumiem 8,9,10

A co z 3 i 11 ?

[ Dodano: 30 Maj 2007, 06:42 ]
Update:

Zad 4,6 - już wiem jak się liczy całkę z logarytmu
Zad 8,9,10 - hehe też już widzę mój błąd

Zad 1,2,5,12 - czy ktoś może potwierdzić czy to jest dobrze? ewentualnie wskazać błąd?

Zad 3,11 - nadal czekam