Matematyka.pl

witajcie
mam zadania zadane do domu i nie wiem jak je zrobiec prosze was o pomoc
Pozdrowienia
Przemek

Oblicz całki

\(\displaystyle{ \int_{}{} \frac{x^3}{x^2+x-2}dx}\)
\(\displaystyle{ \int_ {}{} \frac{1}{x}\sqrt{\frac{x}{1-x}dx}\)
\(\displaystyle{ \int_ {}{}sin^32x cos^22x dx}\)
\(\displaystyle{ \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{3}}cos^2 x sin xdx}\)

1

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}*x^2-x+\frac{8}{3}\ln(x+2)+\frac{1}{3}\ln(x-1)}\)

2

(-x/(x-1))^(1/2)*(x-1)/(x*(x-1))^(1/2)*ln(-1/2+x+(x^2-x)^(1/2))

3

-1/10*sin(2*x)^2*cos(2*x)^3-1/15*cos(2*x)^3

4

-1/3*cos(x)^3

wiec oznaczona = 1/24

Edit by Arbooz: Reszty nie poprawiam bo nie jestem w stanie odczytać o co autorowi chodziło. Pisz w TEX-u.

bisz - zamiast powyprowadzac pokolei krok po kroku wszystkie calki, to wklejasz bezsensownie wyniki z matlaba, w dodatku zasmieca to temat zamiast pomagac - z tych wynikow niewiele wynika...

Widac ze do ciebie nic nie dociera...

1.
\(\displaystyle{ \int\frac{x^3}{x^2 + x - 2}dx =\int xdx - t 1dx + t\frac{3x-2}{x^2 +x - 2}dx = =\int xdx - t 1dx + t\frac{3x-2}{(x+2)(x-1)}dx}\)teraz sobie poradzisz - (stosując do ostatniego metodę współczynników nieoznaczonych)
to: \(\displaystyle{ \int\frac{3x-2}{(x+2)(x-1)}dx}\) zapisujemy tak: \(\displaystyle{ \frac{A}{x+2} + \frac{B}{x-1}}\) potem wyznaczamy A oraz B podstawiamy i całkujemy

[ Dodano: Pon Lip 25, 2005 4:56 pm ]
Druga całka to podstawianie + części. Podstawiasz \(\displaystyle{ t = \sqrt{x}}\) i teraz
\(\displaystyle{ {1 \over x}\sqrt{\frac{x}{1-x}}= {1 \over t^2}\frac{t}{\sqrt{1-t^2}}}\)teraz przez części (wszystko pokrywa się z tablicami całkek) i ostatecznie powróć do iksa.
Aha, i króć t^2 z t

\(\displaystyle{ \int\sin^3(2x)\cos^2(2x)dx = t\sin(2x)\sin^2(2x)cos^2(2x)dx = t\sin(2x)(1-\cos^2(2x))\cos^2(2x)dx}\)
teraz podstawiamy \(\displaystyle{ \cos(2x) = t}\), różniczkujemy obie strony i otrzymujemy
\(\displaystyle{ -2\sin(2x)dx=dt}\) czyli \(\displaystyle{ -\sin(2x)dx=\frac{dt}{2}}\)
i otrzymujemy \(\displaystyle{ -\frac{1}{2}\int(t^2)(1-t^2)dt = -\frac{1}{2}\int(t^2)dt+\frac{1}{2}\int(t^4)dt = -\frac{1}{2}\frac{t^3}{3} + \frac{1}{2}\frac{t^5}{5}+C = -\frac{t^3}{6}+\frac{t^5}{10}+C}\)
teraz wracamy z podstawieniem i otrzymujemy wynik końcowy
\(\displaystyle{ -\frac{\cos^3(2x)}{6}+\frac{\cos^5(2x)}{10}+C}\)
ostatecznie mamy
\(\displaystyle{ \int\sin^3(2x)\cos^2(2x)dx = -\frac{\cos^3(2x)}{6}+\frac{\cos^5(2x)}{10}+C}\)

Ostatnią całke rozwiązuje sie analogicznie przez podstawienie \(\displaystyle{ \cos(x)=t}\) wtedy \(\displaystyle{ -\sin(x)dx = dt}\)
należy pamiętać o zmianie granic całkowania przy podstawieniu.
Jest to potrzebne gdyż w całkach oznaczonych nie wracamy na końcu z podstawieniami tylko do otrzymanej funkci pierwotnej wstawiamy granice całkowania i mamy wynik

Jeśli ktoś ma jakies pytania to zapraszam
Pozdrawiam!!

Temat zamykam, zadanie domowe z czerwca rozwiązane w grudniu - nie będziemy się bawić w archeologów... Proszę się wystrzegać tego typu praktyk w przyszłości.