\(\displaystyle{ \int \frac{\arcctg x}{x^3} dx}\)
\(\displaystyle{ \int \sinh x \ \sinh (2x) dx}\)
\(\displaystyle{ \int \frac{x^{10}}{x^2+x+1} dx}\)
\(\displaystyle{ \int x^2 \sqrt{(1-x^2)^3} dx}\)
\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{x^2 \sqrt{(x^2-1)^3}} dx}\)
\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{9+16\sin ^2 x}}\)
\(\displaystyle{ \int \coth ^2 x dx}\)
Całki dla smakoszy II
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11619
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3173 razy
- Pomógł: 754 razy
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6910
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Całki dla smakoszy II
W pierwszej całce przez części
\(\displaystyle{ u=\arcctg{x}}\)
\(\displaystyle{ \mbox{d}v=x^{-3}}\)
poźniej rozkład na ułamki proste
W drugiej całce dwukrotnie przez części a dostaniesz całkę zwrotną
W trzeciej podziel licznik przez mianownik a
resztę przedstaw w postaci sumy arcusa tangensa i logarytmu
W czwartej podstawienie
\(\displaystyle{ x=\tanh{t}}\)
W piątej podstawienie
\(\displaystyle{ x=\cosh{t}}\)
W szóstej podstawienie
\(\displaystyle{ t=\tan{x}}\)
W siódmej podstawienie
\(\displaystyle{ t=\coth{x}}\)
\(\displaystyle{ u=\arcctg{x}}\)
\(\displaystyle{ \mbox{d}v=x^{-3}}\)
poźniej rozkład na ułamki proste
W drugiej całce dwukrotnie przez części a dostaniesz całkę zwrotną
W trzeciej podziel licznik przez mianownik a
resztę przedstaw w postaci sumy arcusa tangensa i logarytmu
W czwartej podstawienie
\(\displaystyle{ x=\tanh{t}}\)
W piątej podstawienie
\(\displaystyle{ x=\cosh{t}}\)
W szóstej podstawienie
\(\displaystyle{ t=\tan{x}}\)
W siódmej podstawienie
\(\displaystyle{ t=\coth{x}}\)
-
meninio
- Użytkownik
- Posty: 1876
- Rejestracja: 3 maja 2008, o 11:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Jastrzębie Zdrój
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 467 razy
Całki dla smakoszy II
2.
\(\displaystyle{ \int \sinh x\sinh 2x \mbox{d}x =2\int \sinh^2 x\cosh x \mbox{d}x = \left[ t=\sinh x\right] = 2\int t^2 \mbox{d}t= \\ \\ = \frac{2}{3}t^3=\frac{2}{3}\sinh^3 t+C}\)-- 22 maja 2009, 08:07 --4.
\(\displaystyle{ \int \text{ctgh}^2 x \mbox{d}x =\int \frac{\cosh^2 x}{\sinh^2 x} \mbox{d}x = \int \frac{1+\sinh^2 x}{\sinh^2 x} \mbox{d}x = \\ \\ \\ = \int \left(\frac{1}{\sinh^2 x}+1 \right) \mbox{d}x =-\text{ctgh} x+x+C}\)
\(\displaystyle{ \int \sinh x\sinh 2x \mbox{d}x =2\int \sinh^2 x\cosh x \mbox{d}x = \left[ t=\sinh x\right] = 2\int t^2 \mbox{d}t= \\ \\ = \frac{2}{3}t^3=\frac{2}{3}\sinh^3 t+C}\)-- 22 maja 2009, 08:07 --4.
\(\displaystyle{ \int \text{ctgh}^2 x \mbox{d}x =\int \frac{\cosh^2 x}{\sinh^2 x} \mbox{d}x = \int \frac{1+\sinh^2 x}{\sinh^2 x} \mbox{d}x = \\ \\ \\ = \int \left(\frac{1}{\sinh^2 x}+1 \right) \mbox{d}x =-\text{ctgh} x+x+C}\)
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6910
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Całki dla smakoszy II
Meninio w drugim przykładzie całkując dwa razy przez części też
można otrzymać wynik
A w siódmym przykładzie można podstawić \(\displaystyle{ t=\coth{x}}\)
Meninio w drugim przykładzie całkując dwa razy przez części też
można otrzymać wynik
A w siódmym przykładzie można podstawić \(\displaystyle{ t=\coth{x}}\)
\(\displaystyle{ \int{\coth^{2}{x}dx}}\)
\(\displaystyle{ t=\coth{x}}\)
\(\displaystyle{ dt= -\left( t^2-1\right) dx}\)
\(\displaystyle{ dx= -\frac{dt}{t^2-1}}\)
\(\displaystyle{ -\int{ \frac{t^2}{t^2-1} dt} = -\left(\int{dt} + \int{ \frac{dt}{t^2-1} }\right)}\)
\(\displaystyle{ -\int{ \frac{t^2}{t^2-1} dt} = -\left(\int{dt} + \frac{1}{2} \int{ \frac{dt}{t-1} }- \frac{1}{2} \int{ \frac{dt}{t+1} } \right)}\)
\(\displaystyle{ -\int{ \frac{t^2}{t^2-1} dt} = -\left(t + \frac{1}{2} \ln \left( \frac{t-1}{t+1} \right) \right)}\)
\(\displaystyle{ =-\left(\coth{x}-x\right)+C}\)
\(\displaystyle{ =-\coth{x}+x+C}\)
można otrzymać wynik
A w siódmym przykładzie można podstawić \(\displaystyle{ t=\coth{x}}\)
Meninio w drugim przykładzie całkując dwa razy przez części też
można otrzymać wynik
A w siódmym przykładzie można podstawić \(\displaystyle{ t=\coth{x}}\)
\(\displaystyle{ \int{\coth^{2}{x}dx}}\)
\(\displaystyle{ t=\coth{x}}\)
\(\displaystyle{ dt= -\left( t^2-1\right) dx}\)
\(\displaystyle{ dx= -\frac{dt}{t^2-1}}\)
\(\displaystyle{ -\int{ \frac{t^2}{t^2-1} dt} = -\left(\int{dt} + \int{ \frac{dt}{t^2-1} }\right)}\)
\(\displaystyle{ -\int{ \frac{t^2}{t^2-1} dt} = -\left(\int{dt} + \frac{1}{2} \int{ \frac{dt}{t-1} }- \frac{1}{2} \int{ \frac{dt}{t+1} } \right)}\)
\(\displaystyle{ -\int{ \frac{t^2}{t^2-1} dt} = -\left(t + \frac{1}{2} \ln \left( \frac{t-1}{t+1} \right) \right)}\)
\(\displaystyle{ =-\left(\coth{x}-x\right)+C}\)
\(\displaystyle{ =-\coth{x}+x+C}\)
Ostatnio zmieniony 5 cze 2009, o 01:19 przez Mariusz M, łącznie zmieniany 1 raz.
-
meninio
- Użytkownik
- Posty: 1876
- Rejestracja: 3 maja 2008, o 11:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Jastrzębie Zdrój
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 467 razy
Całki dla smakoszy II
A po co? Jak można prościej elementarnymi przekształceniami.....mariuszm pisze:Meninio w drugim przykładzie całkując dwa razy przez części też
można otrzymać wynik
A w siódmym przykładzie można podstawić \(\displaystyle{ t=\coth{x}}\)
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11619
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3173 razy
- Pomógł: 754 razy
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6910
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Całki dla smakoszy II
\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{9+16sin^2 x}}\)
\(\displaystyle{ t=\tan{x}}\)
\(\displaystyle{ \mbox{d}t= \left( 1+t^2\right) \mbox{d}x}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{1+t^2} \mbox{d}t= \mbox{d}x}\)
\(\displaystyle{ \int{\frac{ \mbox{d}t }{9+ \frac{16t^2}{1+t^2} } \frac{1}{1+t^2}}}\)
\(\displaystyle{ \int{\frac{ \mbox{d}t }{\frac{9+25t^2}{1+t^2} } \frac{1}{1+t^2}}}\)
\(\displaystyle{ \int{ \frac{ \left( 1+t^2\right) \mbox{d}t }{9+25t^2} \frac{1}{1+t^2}}}\)
\(\displaystyle{ \int{ \frac{ \mbox{d}t }{9+25t^2} }}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{9} \int{ \frac{ \mbox{d}t }{1+ \left( \frac{5}{3} t\right) ^2} }}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{9} \int{ \frac{ \frac{5}{3}* \frac{3}{5} \mbox{d}t }{1+ \left( \frac{5}{3} t\right) ^2} }}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{9} * \frac{3}{5} \int{ \frac{ \frac{5}{3} \mbox{d}t }{1+ \left( \frac{5}{3} t\right) ^2} }}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{15} \int{ \frac{ \frac{5}{3} \mbox{d}t }{1+ \left( \frac{5}{3}t \right) ^2} }}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{15}\arctan{ \frac{5}{3}t}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{15}\arctan\left( \frac{5}{3}\tan{x}\right)+C}\)
\(\displaystyle{ t=\tan{x}}\)
\(\displaystyle{ \mbox{d}t= \left( 1+t^2\right) \mbox{d}x}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{1+t^2} \mbox{d}t= \mbox{d}x}\)
\(\displaystyle{ \int{\frac{ \mbox{d}t }{9+ \frac{16t^2}{1+t^2} } \frac{1}{1+t^2}}}\)
\(\displaystyle{ \int{\frac{ \mbox{d}t }{\frac{9+25t^2}{1+t^2} } \frac{1}{1+t^2}}}\)
\(\displaystyle{ \int{ \frac{ \left( 1+t^2\right) \mbox{d}t }{9+25t^2} \frac{1}{1+t^2}}}\)
\(\displaystyle{ \int{ \frac{ \mbox{d}t }{9+25t^2} }}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{9} \int{ \frac{ \mbox{d}t }{1+ \left( \frac{5}{3} t\right) ^2} }}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{9} \int{ \frac{ \frac{5}{3}* \frac{3}{5} \mbox{d}t }{1+ \left( \frac{5}{3} t\right) ^2} }}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{9} * \frac{3}{5} \int{ \frac{ \frac{5}{3} \mbox{d}t }{1+ \left( \frac{5}{3} t\right) ^2} }}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{15} \int{ \frac{ \frac{5}{3} \mbox{d}t }{1+ \left( \frac{5}{3}t \right) ^2} }}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{15}\arctan{ \frac{5}{3}t}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{15}\arctan\left( \frac{5}{3}\tan{x}\right)+C}\)
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11619
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3173 razy
- Pomógł: 754 razy
Całki dla smakoszy II
Nastepne dla smakoszy :
\(\displaystyle{ \int \frac{-x^2 +5x+6}{\sqrt{4x - x^2}} dx}\)
\(\displaystyle{ \int \sin^2(x)cos^4(x)dx}\)
\(\displaystyle{ \int \sqrt{1-x^2}^3 dx}\)
\(\displaystyle{ \int \sin^5(x) dx}\)
\(\displaystyle{ \int \frac{\ln(x)}{\sqrt[3]{x}}dx}\)
\(\displaystyle{ \int \frac{-x^2 +5x+6}{\sqrt{4x - x^2}} dx}\)
\(\displaystyle{ \int \sin^2(x)cos^4(x)dx}\)
\(\displaystyle{ \int \sqrt{1-x^2}^3 dx}\)
\(\displaystyle{ \int \sin^5(x) dx}\)
\(\displaystyle{ \int \frac{\ln(x)}{\sqrt[3]{x}}dx}\)
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15688
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Całki dla smakoszy II
Chyba dla pałkoszy, wtedy jak najbardziej się nadam (aczkolwiek smakoszem jestem literalnie):
w pierwszej zwijamy to pod pierwiastkiem w mianowniku do \(\displaystyle{ -(x-2)^{2}+4}\) i stosujemy podstawienie \(\displaystyle{ x-2=2\sin t}\). Dostajemy (o ile dobrze liczę)
\(\displaystyle{ \int_{}^{}-4\sin^{2}t+2\sin t+12 dt}\) a to już super standardowe (rozbijamy na trzy całki i pierwsza pójdzie np. ze wzoru \(\displaystyle{ \sin^{2}t= \frac{1-\cos2t}{2}}\)).
W drugiej mamy \(\displaystyle{ \sin^{2}x=1-\cos^{2}x}\) i sprowadzamy problem do wyliczania
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \cos^{2n}x dx}\) dla \(\displaystyle{ n=2,n=3}\). Po pirsze mamy \(\displaystyle{ \int_{}^{} \cos^{2}x dx= \frac{1}{2}x+ \frac{1}{4}\sin 2x+C}\), a po drugie możemy se wyprowadzić takie równanie rekurencyjne, które się czasem przydaje:
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \cos^{2n}x dx= \int_{}^{} \frac{1}{\cos^{2}x}\cos^{2n+2}x dx=\mbox{[części]}=\tg x\cdot \cos^{2n+2}x+\\+(2n+2) \int_{}^{} \tg x \sin x \cos^{2n+1}x dx=\\=\tg x\cdot \cos^{2n+2}x+(2n+2) \int_{}^{} \sin^{2}x \cos^{2n}x dx=\\ =\tg x\cdot \cos^{2n+2}x+(2n+2) \int_{}^{} (1-\cos^{2}x) \cos^{2n}x dx}\)
i dalej jeśli oznaczymy \(\displaystyle{ I_{n}=\cos^{2n}x}\), to mamy zależność \(\displaystyle{ I_{n+1}}\) od \(\displaystyle{ I_{n}}\), z której (i ze znajomości wcześniej policzonej \(\displaystyle{ \int_{}^{} \cos^{2}x dx}\)) łatwo dostajemy co trzeba.
Trzecia: podstawienie \(\displaystyle{ x=\sin t}\) i korzystamy z tego, co pisałem a propos drugiej.
Czwarta: \(\displaystyle{ \sin^{5}x=\sin x(1-\cos^{2}x)^{2}}\) i podstawieniem \(\displaystyle{ t=\cos x}\) sprowadzamy ten przykład do całki z f. wielomianowej.
Piąta: przez części, różniczkujemy logarytm.
w pierwszej zwijamy to pod pierwiastkiem w mianowniku do \(\displaystyle{ -(x-2)^{2}+4}\) i stosujemy podstawienie \(\displaystyle{ x-2=2\sin t}\). Dostajemy (o ile dobrze liczę)
\(\displaystyle{ \int_{}^{}-4\sin^{2}t+2\sin t+12 dt}\) a to już super standardowe (rozbijamy na trzy całki i pierwsza pójdzie np. ze wzoru \(\displaystyle{ \sin^{2}t= \frac{1-\cos2t}{2}}\)).
W drugiej mamy \(\displaystyle{ \sin^{2}x=1-\cos^{2}x}\) i sprowadzamy problem do wyliczania
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \cos^{2n}x dx}\) dla \(\displaystyle{ n=2,n=3}\). Po pirsze mamy \(\displaystyle{ \int_{}^{} \cos^{2}x dx= \frac{1}{2}x+ \frac{1}{4}\sin 2x+C}\), a po drugie możemy se wyprowadzić takie równanie rekurencyjne, które się czasem przydaje:
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \cos^{2n}x dx= \int_{}^{} \frac{1}{\cos^{2}x}\cos^{2n+2}x dx=\mbox{[części]}=\tg x\cdot \cos^{2n+2}x+\\+(2n+2) \int_{}^{} \tg x \sin x \cos^{2n+1}x dx=\\=\tg x\cdot \cos^{2n+2}x+(2n+2) \int_{}^{} \sin^{2}x \cos^{2n}x dx=\\ =\tg x\cdot \cos^{2n+2}x+(2n+2) \int_{}^{} (1-\cos^{2}x) \cos^{2n}x dx}\)
i dalej jeśli oznaczymy \(\displaystyle{ I_{n}=\cos^{2n}x}\), to mamy zależność \(\displaystyle{ I_{n+1}}\) od \(\displaystyle{ I_{n}}\), z której (i ze znajomości wcześniej policzonej \(\displaystyle{ \int_{}^{} \cos^{2}x dx}\)) łatwo dostajemy co trzeba.
Trzecia: podstawienie \(\displaystyle{ x=\sin t}\) i korzystamy z tego, co pisałem a propos drugiej.
Czwarta: \(\displaystyle{ \sin^{5}x=\sin x(1-\cos^{2}x)^{2}}\) i podstawieniem \(\displaystyle{ t=\cos x}\) sprowadzamy ten przykład do całki z f. wielomianowej.
Piąta: przez części, różniczkujemy logarytm.
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6910
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Całki dla smakoszy II
mol_ksiazkowy, wszystkie te całki można przez części liczyć
Może być ?
Drugą całkę można bez wzoru redukcyjnego którego poprzednik jakoś dziwnie wyprowadza
\(\displaystyle{ \int \frac{-x^2 +5x+6}{\sqrt{4x - x^2}} dx}\)
\(\displaystyle{ \int \sin^2(x)cos^4(x)dx}\)
\(\displaystyle{ \int \sqrt{1-x^2}^3 dx}\)
\(\displaystyle{ \int \sin^5(x) dx}\)
\(\displaystyle{ \int \frac{\ln(x)}{\sqrt[3]{x}}dx}\)
\(\displaystyle{ \int \frac{-x^2 +5x+6}{\sqrt{4x - x^2}} dx\\
\frac{1}{2} \cdot \frac{ \mbox{d}}{ \mbox{d}x }\left( 4x-x^2\right)=\frac{1}{2}\left( 4-2x\right)\\
-x^2+5x+6=\left(2-x\right)\left( x-3\right) +12 \\
\int \frac{-x^2 +5x+6}{\sqrt{4x - x^2}} dx=\int{\left(x-3\right)\frac{2-x}{\sqrt{4x - x^2}}\mbox{d}x}+\int{\frac{12}{\sqrt{4x-x^2}}\mbox{d}x}\\
\int \frac{-x^2 +5x-6}{\sqrt{4x - x^2}} dx=\left( x-3\right)\sqrt{4x-x^2}-\int{\sqrt{4x-x^2}\mbox{d}x}\\
\int \frac{-x^2 +5x-6}{\sqrt{4x - x^2}} dx=\left( x-3\right)\sqrt{4x-x^2}-\int{\frac{4x-x^2+\left(x-6\right)-\left(x-6\right)}{\sqrt{4x-x^2}}\mbox{d}x}\\
2 \int \frac{-x^2 +5x-6}{\sqrt{4x - x^2}} dx=\left( x-3\right)\sqrt{4x-x^2}-\frac{2-x+4}{\sqrt{4x-x^2} \mbox{d}x }\\
2 \int \frac{-x^2 +5x-6}{\sqrt{4x - x^2}} dx=\left( x-3\right)\sqrt{4x-x^2}-\sqrt{4x-x^2}-4\int{\frac{\mbox{d}x}{\sqrt{4x-x^2}}}\\
2 \int \frac{-x^2 +5x-6}{\sqrt{4x - x^2}} dx=\left( x-4\right)\sqrt{4x-x^2}-4\int{\frac{\mbox{d}x}{\sqrt{4x-x^2}}}\\
\int \frac{-x^2 +5x-6}{\sqrt{4x - x^2}} dx=\frac{1}{2}\left( x-4\right)\sqrt{4x-x^2}-2\int{\frac{\mbox{d}x}{\sqrt{4x-x^2}}}\\
\int \frac{-x^2 +5x+6}{\sqrt{4x - x^2}} dx=\frac{1}{2}\left( x-4\right)\sqrt{4x-x^2}+10\int{\frac{\mbox{d}x}{\sqrt{4x-x^2}}}\\
\int \frac{-x^2 +5x+6}{\sqrt{4x - x^2}} dx=\frac{1}{2}\left( x-4\right)\sqrt{4x-x^2}+10\int{\frac{\mbox{d}x}{\sqrt{4-\left( 4-4x+x^2\right) }}}\\
\int \frac{-x^2 +5x+6}{\sqrt{4x - x^2}} dx=\frac{1}{2}\left( x-4\right)\sqrt{4x-x^2}+10\int{\frac{\mbox{d}x}{\sqrt{4-\left( x-2\right)^2 }}}\\
\int \frac{-x^2 +5x+6}{\sqrt{4x - x^2}} dx=\frac{1}{2}\left( x-4\right)\sqrt{4x-x^2}+10\int{\frac{\frac{1}{2}\mbox{d}x}{\sqrt{1-\left( \frac{x-2}{2}\right)^2 }}}\\
\int \frac{-x^2 +5x+6}{\sqrt{4x - x^2}} dx=\frac{1}{2}\left( x-4\right)\sqrt{4x-x^2}+10\arcsin{\left(\frac{x-2}{2}\right)}+C\\}\)
\(\displaystyle{ \int \sin^2(x)\cos^4(x)dx=\int{\left(1-\cos^{2}{x}\right)\cos^{4}{x}\mbox{d}x}\\
=\int{\cos^{4}{x}\mbox{d}x}-\int{\cos^{6}{x}\mbox{d}x}\\
\int{\left(-\cos{x}\right)\cos^{5}{x}\mbox{d}x}=-\sin{x}\cos^{5}{x}-5\int{\left(-\sin{x}\right)\cos^{4}{x}\left(-\sin{x}\right)\mbox{d}x}\\
-\int{\cos^{6}{x}\mbox{d}x}=-\sin{x}\cos^{5}{x}-5\int{\cos^{4}{x}\sin^{2}{x}\mbox{d}x}\\
-\int{\cos^{6}{x}\mbox{d}x}=-\sin{x}\cos^{5}{x}-5\int{\cos^{4}{x}\left(1-\cos^{2}{x}\right)\mbox{d}x}\\
-6\int{\cos^{6}{x}\mbox{d}x}=-\sin{x}\cos^{5}{x}-5\int{\cos^{4}{x}\mbox{d}x}\\
-\int{\cos^{6}{x}\mbox{d}x}=-\frac{1}{6}\sin{x}\cos^{5}{x}-\frac{5}{6}\int{\cos^{4}{x}\mbox{d}x}\\
\int{\cos^{4}{x}\mbox{d}x}-\int{\cos^{6}{x}\mbox{d}x}=-\frac{1}{6}\sin{x}\cos^{5}{x}+\frac{1}{6}\int{\cos^{4}{x}\mbox{d}x}\\
\int{\cos^{4}{x}\mbox{d}x}=\int{\cos{x}\cos^{3}{x}\mbox{d}x}\\
\int{\cos^{4}{x}\mbox{d}x}=\sin{x}\cos^{3}{x}-3\int{\sin{x}\cos^{2}{x}\left(-\sin{x}\right)\mbox{d}x}\\
\int{\cos^{4}{x}\mbox{d}x}=\sin{x}\cos^{3}{x}+3\int{\sin^{2}{x}\cos^{2}{x}\mbox{d}x}\\
\int{\cos^{4}{x}\mbox{d}x}=\sin{x}\cos^{3}{x}+3\int{\left(1-\cos^{2}{x}\right)\cos^{2}{x}\mbox{d}x}\\
4\int{\cos^{4}{x}\mbox{d}x}=\sin{x}\cos^{3}{x}+3\int{\cos^{2}{x}\mbox{d}x}\\
\int{\cos^{4}{x}\mbox{d}x}=\frac{1}{4}\sin{x}\cos^{3}{x}+\frac{3}{4}\int{\cos^{2}{x}\mbox{d}x}\\
\int{\cos^{2}{x}\mbox{d}x}=\int{\cos{x}\cos{x}\mbox{d}x}=\sin{x}\cos{x}-\int{\sin{x}\left(-\sin{x}\right)\mbox{d}x}\\
\int{\cos^{2}{x}\mbox{d}x}=\sin{x}\cos{x}+\int{\sin^{2}{x}\mbox{d}x}\\
\int{\cos^{2}{x}\mbox{d}x}=\sin{x}\cos{x}+\int{\left(1-\sin^{2}{x}\right)\mbox{d}x}\\
2\int{\cos^{2}{x}\mbox{d}x}=\sin{x}\cos{x}+\int{\mbox{d}x}\\
2\int{\cos^{2}{x}\mbox{d}x}=\sin{x}\cos{x}+x\\
\int{\cos^{2}{x}\mbox{d}x}=\frac{1}{2}\left(\sin{x}\cos{x}+x\right)+C\\
\int{\cos^{4}{x}\mbox{d}x}=\frac{1}{4}\sin{x}\cos^{3}{x}+\frac{3}{8}\left(\sin{x}\cos{x}+x\right)+C\\
\int{\sin^{2}{x}\cos^{4}{x} \mbox{d}x }=-\frac{1}{6}\sin{x}\cos^{5}{x}+\frac{1}{24}\sin{x}\cos^{3}{x}+\frac{1}{16}\left(\sin{x}\cos{x}+x\right)+C}\)
\(\displaystyle{ \int \sqrt{1-x^2}^3 dx\\
=\int{\frac{\left(1-2x^2+x^4\right)}{\sqrt{1-x^2}}\mbox{d}x}\\
=\int{\frac{\left(2x-x^3\right)\left(-x\right)}{\sqrt{1-x^2}}\mbox{d}x}+\int{\frac{\mbox{d}x}{\sqrt{1-x^2}}}\\
\int{\frac{\left(2x-x^3\right)\left(-x\right)}{\sqrt{1-x^2}}\mbox{d}x}=\left( 2x-x^3\right)\sqrt{1-x^2}-\int{\left(2-3x^2\right)\sqrt{1-x^2}\mbox{d}x}\\
\int{\frac{-2x^2+x^4}{\sqrt{1-x^2}}\mbox{d}x}=\left( 2x-x^3\right)\sqrt{1-x^2}-\int{\frac{\left(2-3x^2\right)\left(1-x^2\right)}{\sqrt{1-x^2}}\mbox{d}x}\\
\int{\frac{-2x^2+x^4}{\sqrt{1-x^2}}\mbox{d}x}=\left( 2x-x^3\right)\sqrt{1-x^2}-\int{\frac{2+x^2-6x^2+3x^4}{\sqrt{1-x^2}}\mbox{d}x}\\
4\int{\frac{-2x^2+x^4}{\sqrt{1-x^2}}\mbox{d}x}=\left( 2x-x^3\right)\sqrt{1-x^2}+\int{\frac{-3+1-x^2}{\sqrt{1-x^2}}\mbox{d}x}\\
4\int{\frac{-2x^2+x^4}{\sqrt{1-x^2}}\mbox{d}x}=\left( 2x-x^3\right)\sqrt{1-x^2}+\int{\sqrt{1-x^2}\mbox{d}x}-3\int{\frac{ \mbox{d}x }{\sqrt{1-x^2}}}\\
\int{\sqrt{1-x^2}\mbox{d}x}=x\sqrt{1-x^2}-\int{\frac{\left(-x^2\right)}{\sqrt{1-x^2}}\mbox{d}x}\\
\int{\sqrt{1-x^2}\mbox{d}x}=x\sqrt{1-x^2}-\int{\frac{\left(1-x^2\right)-1}{\sqrt{1-x^2}}\mbox{d}x}\\
2\int{\sqrt{1-x^2}\mbox{d}x}=x\sqrt{1-x^2}+\int{\frac{\mbox{d}x}{\sqrt{1-x^2}}}\\
\int{\sqrt{1-x^2}\mbox{d}x}=\frac{1}{2}x\sqrt{1-x^2}+\frac{1}{2}\int{\frac{\mbox{d}x}{\sqrt{1-x^2}}}\\
4\int{\frac{-2x^2+x^4}{\sqrt{1-x^2}}\mbox{d}x}=\left( 2x-x^3\right)\sqrt{1-x^2}+\frac{1}{2}x\sqrt{1-x^2}+\frac{1}{2}\int{\frac{\mbox{d}x}{\sqrt{1-x^2}}}-3\int{\frac{ \mbox{d}x }{\sqrt{1-x^2}}}\\
8\int{\frac{-2x^2+x^4}{\sqrt{1-x^2}}\mbox{d}x}=\left( 4x-2x^3\right)\sqrt{1-x^2}+x\sqrt{1-x^2}-5\int{\frac{ \mbox{d}x }{\sqrt{1-x^2}}}\\
8\int{\frac{-2x^2+x^4}{\sqrt{1-x^2}}\mbox{d}x}=\left( 5x-2x^3\right)\sqrt{1-x^2}-5\int{\frac{ \mbox{d}x }{\sqrt{1-x^2}}}\\
\int{\frac{-2x^2+x^4}{\sqrt{1-x^2}}\mbox{d}x}=\frac{1}{8}\left( 5x-2x^3\right)\sqrt{1-x^2}-\frac{5}{8}\int{\frac{ \mbox{d}x }{\sqrt{1-x^2}}}\\
\int{\frac{1-2x^2+x^4}{\sqrt{1-x^2}}\mbox{d}x}=\frac{1}{8}\left( 5x-2x^3\right)\sqrt{1-x^2}+\frac{3}{8}\int{\frac{ \mbox{d}x }{\sqrt{1-x^2}}}\\
\int{\left(\sqrt{1-x^2}\right)^3\mbox{d}x}=\frac{1}{8}\left( 5x-2x^3\right)\sqrt{1-x^2}+\frac{3}{8}\arcsin{\left(x\right)}+C}\)
\(\displaystyle{ \int{\sin^{5}{x}\mbox{d}x}=\int{\sin{x}\sin^{4}{x}\mbox{d}x}\\
\int{\sin^{5}{x}\mbox{d}x}=-\cos{x}\sin^{4}{x}-\int{\left(-\cos{x}\right)\left(4\sin^{3}{x}\cos{x}\right)\mbox{d}x}\\
\int{\sin^{5}{x}\mbox{d}x}=-\cos{x}\sin^{4}{x}+4\int{\sin^{3}{x}\cos^{2}{x}\mbox{d}x}\\
\int{\sin^{5}{x}\mbox{d}x}=-\cos{x}\sin^{4}{x}+4\int{\sin^{3}{x}\left(1-\sin^{2}{x}\right)\mbox{d}x}\\
5\int{\sin^{5}{x}\mbox{d}x}=-\cos{x}\sin^{4}{x}+4\int{\sin^{3}{x}\mbox{d}x}\\
\int{\sin^{5}{x}\mbox{d}x}=-\frac{1}{5}\cos{x}\sin^{4}{x}+\frac{4}{5}\int{\sin^{3}{x}\mbox{d}x}\\
\int{\sin^{3}{x}\mbox{d}x}=\int{\sin{x}\sin^{2}{x}\mbox{d}x}=-\cos{x}\sin^2{x}-\int{2\left(-\cos{x}\right)\sin{x}\cos{x}}\\
\int{\sin^{3}{x}\mbox{d}x}=-\cos{x}\sin^2{x}+2\int{\sin{x}\cos^{2}{x}\mbox{d}x}\\
\int{\sin^{3}{x}\mbox{d}x}=-\cos{x}\sin^2{x}+2\int{\sin{x}\left(1-\sin^2{x}\right)\mbox{d}x}\\
3\int{\sin^{3}{x}\mbox{d}x}=-\cos{x}\sin^2{x}+2\int{\sin{x}\mbox{d}x}\\
\int{\sin^{3}{x}\mbox{d}x}=-\frac{1}{3}\cos{x}\sin^2{x}-\frac{2}{3}\cos{x}+C\\
\int{\sin^{5}{x}\mbox{d}x}=-\frac{1}{5}\cos{x}\sin^{4}{x}-\frac{4}{15}\cos{x}\sin^2{x}-\frac{8}{15}\cos{x}+C}\)
\(\displaystyle{ \int \frac{\ln(x)}{\sqrt[3]{x}}dx\\
\int{x^{-\frac{1}{3}}\ln{\left( x\right) }\mbox{d}x}=\frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}}\ln{\left( x\right) }
-\frac{3}{2}\int{x^{-\frac{1}{3}}\mbox{d}x}\\
\int{x^{-\frac{1}{3}}\ln{\left( x\right) }\mbox{d}x}=\frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}}\ln{\left( x\right) }-\frac{9}{4}x^{\frac{2}{3}}+C}\)
\(\displaystyle{ \int \frac{-x^2 +5x+6}{\sqrt{4x - x^2}} dx}\)
\(\displaystyle{ \int \sin^2(x)cos^4(x)dx}\)
\(\displaystyle{ \int \sqrt{1-x^2}^3 dx}\)
\(\displaystyle{ \int \sin^5(x) dx}\)
\(\displaystyle{ \int \frac{\ln(x)}{\sqrt[3]{x}}dx}\)
Jeżeli koniecznie chcemy podstawiać to podstawieniami dojdziemy do wzoru Ostrogradskiego
Zastosuję podstawienia które albo na pewno dadzą całkę z funkcji wymiernej
albo dadzą całkę której łatwo przewidzieć postać funkcji pierwotnej
\(\displaystyle{ \int \frac{-x^2 +5x+6}{\sqrt{4x - x^2}} dx\\
\int{\frac{-x^2+5x+6}{\sqrt{4x-x^2}}\mbox{d}x}\\
\sqrt{4x-x^2}=xt\\
4x-x^2=x^2t^2\\
4-x=xt^2\\
4=x+xt^2\\
x\left(1+t^2\right)=4\\
x=\frac{4}{1+t^2}\\
xt=\frac{4t}{1+t^2}\\
\mbox{d}x=4\left(-1\right)\left( 1+t^2\right)^{-2} \cdot 2t \mbox{d}t\\
\mbox{d}x=\frac{-8t}{\left( 1+t^2\right)^2} \mbox{d}t\\
\int{ \frac{\left( -16+20\left( 1+t^2\right)+6\left( 1+t^2\right)^2 \right) }{\left( 1+t^2\right)^2} \cdot \frac{\left(1+t^2\right)}{4t} \left(\frac{-8t}{\left( 1+t^2\right)^2}\right) \mbox{d}t}\\
-2\int{\frac{6t^4+32t^2+10}{\left(1+t^2\right)^3}\mbox{d}t}}\)
\(\displaystyle{ \int{\sin^{2}{x}\cos^{4}{x}\mbox{d}x}\\
t=\tan{\frac{x}{2}}=\frac{\sin{\frac{x}{2}}}{\cos{\frac{x}{2}}}\\
\mbox{d}t=\frac{\frac{1}{2}\cos^{2}{\frac{x}{2}}-\left( - \frac{1}{2}\sin^2{\frac{x}{2}} \right) }{\cos^2{\frac{x}{2}}} \mbox{d}x \\
\mbox{d}t=\frac{1}{2}\frac{\cos^2{\frac{x}{2}}+\sin^2{\frac{x}{2}}}{\cos^2{\frac{x}{2}}} \mbox{d}x \\
\mbox{d}t=\frac{1}{2}\left( 1+\tan^{2}{ \frac{x}{2} }\right) \mbox{d}x \\
2\mbox{d}t=\left( 1+t^2\right) \mbox{d}x \\
\mbox{d}x =\frac{2}{1+t^2} \mbox{d}t\\
\sin{x}=2\sin{\frac{x}{2}}\cos{\frac{x}{2}}=\frac{2\sin{\frac{x}{2}}\cos{\frac{x}{2}}}{\cos^{2}{ \frac{x}{2} }+\sin^{2}{ \frac{x}{2} }}\\
\sin{x}=\frac{\frac{2\sin{\frac{x}{2}}\cos{\frac{x}{2}}}{\cos^{2}{\frac{x}{2}}}}{\frac{\cos^{2}{ \frac{x}{2} }+\sin^{2}{ \frac{x}{2} }}{\cos^{2}{\frac{x}{2}}}}=\frac{2\tan{\frac{x}{2}}}{1+\tan^{2}{\frac{x}{2}}}\\
\cos{x}=\cos^{2}{\frac{x}{2}}-\sin^{2}{\frac{x}{2}}=\frac{\cos^{2}{\frac{x}{2}}-\sin^{2}{\frac{x}{2}}}{\cos^{2}{\frac{x}{2}}+\sin^{2}{\frac{x}{2}}}\\
\cos{x}=\frac{\frac{\cos^{2}{\frac{x}{2}}-\sin^{2}{\frac{x}{2}}}{\cos^{2}{\frac{x}{2}}}}{\frac{\cos^{2}{\frac{x}{2}}+\sin^{2}{\frac{x}{2}}}{\cos^{2}{\frac{x}{2}}}}=\frac{1-\tan^{2}{ \frac{x}{2} }}{1+\tan^{2}{ \frac{x}{2} }}\\
\int{\frac{4t^2}{\left(1+t^2\right)^2} \cdot \frac{\left( 1-t^2\right)^4 }{\left( 1+t^2\right)^4 } \cdot \frac{2}{1+t^2} \mbox{d}t }\\
\int{\frac{8t^2\left( 1-t^2\right)^4 }{\left( 1+t^2\right)^7 } \mbox{d}t}}\)
\(\displaystyle{ \int \sqrt{1-x^2}^3 dx\\
\sqrt{1-x^2}=\left(1+x\right)t\\
1-x^2=\left(1+x\right)^2t^2\\
\left( 1-x\right)\left( 1+x\right)=\left(1+x\right)^2t^2\\
1-x=\left(1+x\right)t^2\\
1-x=t^2+xt^2\\
1-t^2=x+xt^2\\
x\left( 1+t^2\right)=1-t^2\\
x=\frac{1-t^2}{1+t^2}=\frac{-1-t^2+2}{1+t^2}=-1+\frac{2}{1+t^2}\\
\left(1+x\right)t=\frac{2t}{1+t^2}\\
\mbox{d}x =2 \cdot \left( -1\right)\left( 1+t^2\right)^{-2} \cdot 2t \mbox{d}t\\
\mbox{d}x =-\frac{4t}{\left( 1+t^2\right)^2 } \mbox{d}t\\
\int{\frac{8t^3}{\left( 1+t^2\right)^3 } \cdot \frac{\left( -4t\right) }{\left( 1+t^2\right)^2} \mbox{d}t}\\
=\int{\frac{-32t^4}{\left( 1+t^2\right)^5 } \mbox{d}t}}\)
\(\displaystyle{ \int{\sin^{5}{x} \mbox{d}x }\\
t=\tan{\frac{x}{2}}\\
\mbox{d}t= \frac{1}{2}\left( 1+t^2\right) \mbox{d}x\\
\mbox{d}x =\frac{2}{1+t^2} \mbox{d}t\\
\int{\frac{32t^5}{\left( 1+t^2\right)^5 } \cdot \frac{2}{1+t^2} \mbox{d}t}\\
\int{\frac{64t^5}{\left( 1+t^2\right)^6 } \mbox{d}t}\\}\)
\(\displaystyle{ \int \frac{\ln(x)}{\sqrt[3]{x}}dx\\
t=\ln{\left( x\right) }\\
x=e^{t}\\
\mbox{d}x =e^{t} \mbox{d}t\\
\int{te^{- \frac{1}{3} t} \cdot e^{t} \mbox{d}t }\\
\int{te^{ \frac{2}{3}t } \mbox{d}t}\\}\)
Jeśli znamy funkcję \(\displaystyle{ \Gamma}\) to możemy zastosować podstawienie skalujące i wyrazić
tę całkę niekompletną funkcją \(\displaystyle{ \Gamma}\)
Jeżeli nie znamy to łatwo można przewidzieć funkcję pierwotną podobnie jak to się robiło przy równaniach różniczkowych
W pozostałych całkach można użyć metody Ostrogradskiego którą skrótowo opisał luka52
viewtopic.php?t=79919
Czemu zaraz dla pałkoszy ?
Ciekawe jakie całki liczyłeś gdy uczyłeś się całkować
Jeśli chodzi o poziom trudności tych całek to jest on zbliżony do tych sprzed 6 lat
Może być ?
Drugą całkę można bez wzoru redukcyjnego którego poprzednik jakoś dziwnie wyprowadza
\(\displaystyle{ \int \frac{-x^2 +5x+6}{\sqrt{4x - x^2}} dx}\)
\(\displaystyle{ \int \sin^2(x)cos^4(x)dx}\)
\(\displaystyle{ \int \sqrt{1-x^2}^3 dx}\)
\(\displaystyle{ \int \sin^5(x) dx}\)
\(\displaystyle{ \int \frac{\ln(x)}{\sqrt[3]{x}}dx}\)
\(\displaystyle{ \int \frac{-x^2 +5x+6}{\sqrt{4x - x^2}} dx\\
\frac{1}{2} \cdot \frac{ \mbox{d}}{ \mbox{d}x }\left( 4x-x^2\right)=\frac{1}{2}\left( 4-2x\right)\\
-x^2+5x+6=\left(2-x\right)\left( x-3\right) +12 \\
\int \frac{-x^2 +5x+6}{\sqrt{4x - x^2}} dx=\int{\left(x-3\right)\frac{2-x}{\sqrt{4x - x^2}}\mbox{d}x}+\int{\frac{12}{\sqrt{4x-x^2}}\mbox{d}x}\\
\int \frac{-x^2 +5x-6}{\sqrt{4x - x^2}} dx=\left( x-3\right)\sqrt{4x-x^2}-\int{\sqrt{4x-x^2}\mbox{d}x}\\
\int \frac{-x^2 +5x-6}{\sqrt{4x - x^2}} dx=\left( x-3\right)\sqrt{4x-x^2}-\int{\frac{4x-x^2+\left(x-6\right)-\left(x-6\right)}{\sqrt{4x-x^2}}\mbox{d}x}\\
2 \int \frac{-x^2 +5x-6}{\sqrt{4x - x^2}} dx=\left( x-3\right)\sqrt{4x-x^2}-\frac{2-x+4}{\sqrt{4x-x^2} \mbox{d}x }\\
2 \int \frac{-x^2 +5x-6}{\sqrt{4x - x^2}} dx=\left( x-3\right)\sqrt{4x-x^2}-\sqrt{4x-x^2}-4\int{\frac{\mbox{d}x}{\sqrt{4x-x^2}}}\\
2 \int \frac{-x^2 +5x-6}{\sqrt{4x - x^2}} dx=\left( x-4\right)\sqrt{4x-x^2}-4\int{\frac{\mbox{d}x}{\sqrt{4x-x^2}}}\\
\int \frac{-x^2 +5x-6}{\sqrt{4x - x^2}} dx=\frac{1}{2}\left( x-4\right)\sqrt{4x-x^2}-2\int{\frac{\mbox{d}x}{\sqrt{4x-x^2}}}\\
\int \frac{-x^2 +5x+6}{\sqrt{4x - x^2}} dx=\frac{1}{2}\left( x-4\right)\sqrt{4x-x^2}+10\int{\frac{\mbox{d}x}{\sqrt{4x-x^2}}}\\
\int \frac{-x^2 +5x+6}{\sqrt{4x - x^2}} dx=\frac{1}{2}\left( x-4\right)\sqrt{4x-x^2}+10\int{\frac{\mbox{d}x}{\sqrt{4-\left( 4-4x+x^2\right) }}}\\
\int \frac{-x^2 +5x+6}{\sqrt{4x - x^2}} dx=\frac{1}{2}\left( x-4\right)\sqrt{4x-x^2}+10\int{\frac{\mbox{d}x}{\sqrt{4-\left( x-2\right)^2 }}}\\
\int \frac{-x^2 +5x+6}{\sqrt{4x - x^2}} dx=\frac{1}{2}\left( x-4\right)\sqrt{4x-x^2}+10\int{\frac{\frac{1}{2}\mbox{d}x}{\sqrt{1-\left( \frac{x-2}{2}\right)^2 }}}\\
\int \frac{-x^2 +5x+6}{\sqrt{4x - x^2}} dx=\frac{1}{2}\left( x-4\right)\sqrt{4x-x^2}+10\arcsin{\left(\frac{x-2}{2}\right)}+C\\}\)
\(\displaystyle{ \int \sin^2(x)\cos^4(x)dx=\int{\left(1-\cos^{2}{x}\right)\cos^{4}{x}\mbox{d}x}\\
=\int{\cos^{4}{x}\mbox{d}x}-\int{\cos^{6}{x}\mbox{d}x}\\
\int{\left(-\cos{x}\right)\cos^{5}{x}\mbox{d}x}=-\sin{x}\cos^{5}{x}-5\int{\left(-\sin{x}\right)\cos^{4}{x}\left(-\sin{x}\right)\mbox{d}x}\\
-\int{\cos^{6}{x}\mbox{d}x}=-\sin{x}\cos^{5}{x}-5\int{\cos^{4}{x}\sin^{2}{x}\mbox{d}x}\\
-\int{\cos^{6}{x}\mbox{d}x}=-\sin{x}\cos^{5}{x}-5\int{\cos^{4}{x}\left(1-\cos^{2}{x}\right)\mbox{d}x}\\
-6\int{\cos^{6}{x}\mbox{d}x}=-\sin{x}\cos^{5}{x}-5\int{\cos^{4}{x}\mbox{d}x}\\
-\int{\cos^{6}{x}\mbox{d}x}=-\frac{1}{6}\sin{x}\cos^{5}{x}-\frac{5}{6}\int{\cos^{4}{x}\mbox{d}x}\\
\int{\cos^{4}{x}\mbox{d}x}-\int{\cos^{6}{x}\mbox{d}x}=-\frac{1}{6}\sin{x}\cos^{5}{x}+\frac{1}{6}\int{\cos^{4}{x}\mbox{d}x}\\
\int{\cos^{4}{x}\mbox{d}x}=\int{\cos{x}\cos^{3}{x}\mbox{d}x}\\
\int{\cos^{4}{x}\mbox{d}x}=\sin{x}\cos^{3}{x}-3\int{\sin{x}\cos^{2}{x}\left(-\sin{x}\right)\mbox{d}x}\\
\int{\cos^{4}{x}\mbox{d}x}=\sin{x}\cos^{3}{x}+3\int{\sin^{2}{x}\cos^{2}{x}\mbox{d}x}\\
\int{\cos^{4}{x}\mbox{d}x}=\sin{x}\cos^{3}{x}+3\int{\left(1-\cos^{2}{x}\right)\cos^{2}{x}\mbox{d}x}\\
4\int{\cos^{4}{x}\mbox{d}x}=\sin{x}\cos^{3}{x}+3\int{\cos^{2}{x}\mbox{d}x}\\
\int{\cos^{4}{x}\mbox{d}x}=\frac{1}{4}\sin{x}\cos^{3}{x}+\frac{3}{4}\int{\cos^{2}{x}\mbox{d}x}\\
\int{\cos^{2}{x}\mbox{d}x}=\int{\cos{x}\cos{x}\mbox{d}x}=\sin{x}\cos{x}-\int{\sin{x}\left(-\sin{x}\right)\mbox{d}x}\\
\int{\cos^{2}{x}\mbox{d}x}=\sin{x}\cos{x}+\int{\sin^{2}{x}\mbox{d}x}\\
\int{\cos^{2}{x}\mbox{d}x}=\sin{x}\cos{x}+\int{\left(1-\sin^{2}{x}\right)\mbox{d}x}\\
2\int{\cos^{2}{x}\mbox{d}x}=\sin{x}\cos{x}+\int{\mbox{d}x}\\
2\int{\cos^{2}{x}\mbox{d}x}=\sin{x}\cos{x}+x\\
\int{\cos^{2}{x}\mbox{d}x}=\frac{1}{2}\left(\sin{x}\cos{x}+x\right)+C\\
\int{\cos^{4}{x}\mbox{d}x}=\frac{1}{4}\sin{x}\cos^{3}{x}+\frac{3}{8}\left(\sin{x}\cos{x}+x\right)+C\\
\int{\sin^{2}{x}\cos^{4}{x} \mbox{d}x }=-\frac{1}{6}\sin{x}\cos^{5}{x}+\frac{1}{24}\sin{x}\cos^{3}{x}+\frac{1}{16}\left(\sin{x}\cos{x}+x\right)+C}\)
\(\displaystyle{ \int \sqrt{1-x^2}^3 dx\\
=\int{\frac{\left(1-2x^2+x^4\right)}{\sqrt{1-x^2}}\mbox{d}x}\\
=\int{\frac{\left(2x-x^3\right)\left(-x\right)}{\sqrt{1-x^2}}\mbox{d}x}+\int{\frac{\mbox{d}x}{\sqrt{1-x^2}}}\\
\int{\frac{\left(2x-x^3\right)\left(-x\right)}{\sqrt{1-x^2}}\mbox{d}x}=\left( 2x-x^3\right)\sqrt{1-x^2}-\int{\left(2-3x^2\right)\sqrt{1-x^2}\mbox{d}x}\\
\int{\frac{-2x^2+x^4}{\sqrt{1-x^2}}\mbox{d}x}=\left( 2x-x^3\right)\sqrt{1-x^2}-\int{\frac{\left(2-3x^2\right)\left(1-x^2\right)}{\sqrt{1-x^2}}\mbox{d}x}\\
\int{\frac{-2x^2+x^4}{\sqrt{1-x^2}}\mbox{d}x}=\left( 2x-x^3\right)\sqrt{1-x^2}-\int{\frac{2+x^2-6x^2+3x^4}{\sqrt{1-x^2}}\mbox{d}x}\\
4\int{\frac{-2x^2+x^4}{\sqrt{1-x^2}}\mbox{d}x}=\left( 2x-x^3\right)\sqrt{1-x^2}+\int{\frac{-3+1-x^2}{\sqrt{1-x^2}}\mbox{d}x}\\
4\int{\frac{-2x^2+x^4}{\sqrt{1-x^2}}\mbox{d}x}=\left( 2x-x^3\right)\sqrt{1-x^2}+\int{\sqrt{1-x^2}\mbox{d}x}-3\int{\frac{ \mbox{d}x }{\sqrt{1-x^2}}}\\
\int{\sqrt{1-x^2}\mbox{d}x}=x\sqrt{1-x^2}-\int{\frac{\left(-x^2\right)}{\sqrt{1-x^2}}\mbox{d}x}\\
\int{\sqrt{1-x^2}\mbox{d}x}=x\sqrt{1-x^2}-\int{\frac{\left(1-x^2\right)-1}{\sqrt{1-x^2}}\mbox{d}x}\\
2\int{\sqrt{1-x^2}\mbox{d}x}=x\sqrt{1-x^2}+\int{\frac{\mbox{d}x}{\sqrt{1-x^2}}}\\
\int{\sqrt{1-x^2}\mbox{d}x}=\frac{1}{2}x\sqrt{1-x^2}+\frac{1}{2}\int{\frac{\mbox{d}x}{\sqrt{1-x^2}}}\\
4\int{\frac{-2x^2+x^4}{\sqrt{1-x^2}}\mbox{d}x}=\left( 2x-x^3\right)\sqrt{1-x^2}+\frac{1}{2}x\sqrt{1-x^2}+\frac{1}{2}\int{\frac{\mbox{d}x}{\sqrt{1-x^2}}}-3\int{\frac{ \mbox{d}x }{\sqrt{1-x^2}}}\\
8\int{\frac{-2x^2+x^4}{\sqrt{1-x^2}}\mbox{d}x}=\left( 4x-2x^3\right)\sqrt{1-x^2}+x\sqrt{1-x^2}-5\int{\frac{ \mbox{d}x }{\sqrt{1-x^2}}}\\
8\int{\frac{-2x^2+x^4}{\sqrt{1-x^2}}\mbox{d}x}=\left( 5x-2x^3\right)\sqrt{1-x^2}-5\int{\frac{ \mbox{d}x }{\sqrt{1-x^2}}}\\
\int{\frac{-2x^2+x^4}{\sqrt{1-x^2}}\mbox{d}x}=\frac{1}{8}\left( 5x-2x^3\right)\sqrt{1-x^2}-\frac{5}{8}\int{\frac{ \mbox{d}x }{\sqrt{1-x^2}}}\\
\int{\frac{1-2x^2+x^4}{\sqrt{1-x^2}}\mbox{d}x}=\frac{1}{8}\left( 5x-2x^3\right)\sqrt{1-x^2}+\frac{3}{8}\int{\frac{ \mbox{d}x }{\sqrt{1-x^2}}}\\
\int{\left(\sqrt{1-x^2}\right)^3\mbox{d}x}=\frac{1}{8}\left( 5x-2x^3\right)\sqrt{1-x^2}+\frac{3}{8}\arcsin{\left(x\right)}+C}\)
\(\displaystyle{ \int{\sin^{5}{x}\mbox{d}x}=\int{\sin{x}\sin^{4}{x}\mbox{d}x}\\
\int{\sin^{5}{x}\mbox{d}x}=-\cos{x}\sin^{4}{x}-\int{\left(-\cos{x}\right)\left(4\sin^{3}{x}\cos{x}\right)\mbox{d}x}\\
\int{\sin^{5}{x}\mbox{d}x}=-\cos{x}\sin^{4}{x}+4\int{\sin^{3}{x}\cos^{2}{x}\mbox{d}x}\\
\int{\sin^{5}{x}\mbox{d}x}=-\cos{x}\sin^{4}{x}+4\int{\sin^{3}{x}\left(1-\sin^{2}{x}\right)\mbox{d}x}\\
5\int{\sin^{5}{x}\mbox{d}x}=-\cos{x}\sin^{4}{x}+4\int{\sin^{3}{x}\mbox{d}x}\\
\int{\sin^{5}{x}\mbox{d}x}=-\frac{1}{5}\cos{x}\sin^{4}{x}+\frac{4}{5}\int{\sin^{3}{x}\mbox{d}x}\\
\int{\sin^{3}{x}\mbox{d}x}=\int{\sin{x}\sin^{2}{x}\mbox{d}x}=-\cos{x}\sin^2{x}-\int{2\left(-\cos{x}\right)\sin{x}\cos{x}}\\
\int{\sin^{3}{x}\mbox{d}x}=-\cos{x}\sin^2{x}+2\int{\sin{x}\cos^{2}{x}\mbox{d}x}\\
\int{\sin^{3}{x}\mbox{d}x}=-\cos{x}\sin^2{x}+2\int{\sin{x}\left(1-\sin^2{x}\right)\mbox{d}x}\\
3\int{\sin^{3}{x}\mbox{d}x}=-\cos{x}\sin^2{x}+2\int{\sin{x}\mbox{d}x}\\
\int{\sin^{3}{x}\mbox{d}x}=-\frac{1}{3}\cos{x}\sin^2{x}-\frac{2}{3}\cos{x}+C\\
\int{\sin^{5}{x}\mbox{d}x}=-\frac{1}{5}\cos{x}\sin^{4}{x}-\frac{4}{15}\cos{x}\sin^2{x}-\frac{8}{15}\cos{x}+C}\)
\(\displaystyle{ \int \frac{\ln(x)}{\sqrt[3]{x}}dx\\
\int{x^{-\frac{1}{3}}\ln{\left( x\right) }\mbox{d}x}=\frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}}\ln{\left( x\right) }
-\frac{3}{2}\int{x^{-\frac{1}{3}}\mbox{d}x}\\
\int{x^{-\frac{1}{3}}\ln{\left( x\right) }\mbox{d}x}=\frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}}\ln{\left( x\right) }-\frac{9}{4}x^{\frac{2}{3}}+C}\)
\(\displaystyle{ \int \frac{-x^2 +5x+6}{\sqrt{4x - x^2}} dx}\)
\(\displaystyle{ \int \sin^2(x)cos^4(x)dx}\)
\(\displaystyle{ \int \sqrt{1-x^2}^3 dx}\)
\(\displaystyle{ \int \sin^5(x) dx}\)
\(\displaystyle{ \int \frac{\ln(x)}{\sqrt[3]{x}}dx}\)
Jeżeli koniecznie chcemy podstawiać to podstawieniami dojdziemy do wzoru Ostrogradskiego
Zastosuję podstawienia które albo na pewno dadzą całkę z funkcji wymiernej
albo dadzą całkę której łatwo przewidzieć postać funkcji pierwotnej
\(\displaystyle{ \int \frac{-x^2 +5x+6}{\sqrt{4x - x^2}} dx\\
\int{\frac{-x^2+5x+6}{\sqrt{4x-x^2}}\mbox{d}x}\\
\sqrt{4x-x^2}=xt\\
4x-x^2=x^2t^2\\
4-x=xt^2\\
4=x+xt^2\\
x\left(1+t^2\right)=4\\
x=\frac{4}{1+t^2}\\
xt=\frac{4t}{1+t^2}\\
\mbox{d}x=4\left(-1\right)\left( 1+t^2\right)^{-2} \cdot 2t \mbox{d}t\\
\mbox{d}x=\frac{-8t}{\left( 1+t^2\right)^2} \mbox{d}t\\
\int{ \frac{\left( -16+20\left( 1+t^2\right)+6\left( 1+t^2\right)^2 \right) }{\left( 1+t^2\right)^2} \cdot \frac{\left(1+t^2\right)}{4t} \left(\frac{-8t}{\left( 1+t^2\right)^2}\right) \mbox{d}t}\\
-2\int{\frac{6t^4+32t^2+10}{\left(1+t^2\right)^3}\mbox{d}t}}\)
\(\displaystyle{ \int{\sin^{2}{x}\cos^{4}{x}\mbox{d}x}\\
t=\tan{\frac{x}{2}}=\frac{\sin{\frac{x}{2}}}{\cos{\frac{x}{2}}}\\
\mbox{d}t=\frac{\frac{1}{2}\cos^{2}{\frac{x}{2}}-\left( - \frac{1}{2}\sin^2{\frac{x}{2}} \right) }{\cos^2{\frac{x}{2}}} \mbox{d}x \\
\mbox{d}t=\frac{1}{2}\frac{\cos^2{\frac{x}{2}}+\sin^2{\frac{x}{2}}}{\cos^2{\frac{x}{2}}} \mbox{d}x \\
\mbox{d}t=\frac{1}{2}\left( 1+\tan^{2}{ \frac{x}{2} }\right) \mbox{d}x \\
2\mbox{d}t=\left( 1+t^2\right) \mbox{d}x \\
\mbox{d}x =\frac{2}{1+t^2} \mbox{d}t\\
\sin{x}=2\sin{\frac{x}{2}}\cos{\frac{x}{2}}=\frac{2\sin{\frac{x}{2}}\cos{\frac{x}{2}}}{\cos^{2}{ \frac{x}{2} }+\sin^{2}{ \frac{x}{2} }}\\
\sin{x}=\frac{\frac{2\sin{\frac{x}{2}}\cos{\frac{x}{2}}}{\cos^{2}{\frac{x}{2}}}}{\frac{\cos^{2}{ \frac{x}{2} }+\sin^{2}{ \frac{x}{2} }}{\cos^{2}{\frac{x}{2}}}}=\frac{2\tan{\frac{x}{2}}}{1+\tan^{2}{\frac{x}{2}}}\\
\cos{x}=\cos^{2}{\frac{x}{2}}-\sin^{2}{\frac{x}{2}}=\frac{\cos^{2}{\frac{x}{2}}-\sin^{2}{\frac{x}{2}}}{\cos^{2}{\frac{x}{2}}+\sin^{2}{\frac{x}{2}}}\\
\cos{x}=\frac{\frac{\cos^{2}{\frac{x}{2}}-\sin^{2}{\frac{x}{2}}}{\cos^{2}{\frac{x}{2}}}}{\frac{\cos^{2}{\frac{x}{2}}+\sin^{2}{\frac{x}{2}}}{\cos^{2}{\frac{x}{2}}}}=\frac{1-\tan^{2}{ \frac{x}{2} }}{1+\tan^{2}{ \frac{x}{2} }}\\
\int{\frac{4t^2}{\left(1+t^2\right)^2} \cdot \frac{\left( 1-t^2\right)^4 }{\left( 1+t^2\right)^4 } \cdot \frac{2}{1+t^2} \mbox{d}t }\\
\int{\frac{8t^2\left( 1-t^2\right)^4 }{\left( 1+t^2\right)^7 } \mbox{d}t}}\)
\(\displaystyle{ \int \sqrt{1-x^2}^3 dx\\
\sqrt{1-x^2}=\left(1+x\right)t\\
1-x^2=\left(1+x\right)^2t^2\\
\left( 1-x\right)\left( 1+x\right)=\left(1+x\right)^2t^2\\
1-x=\left(1+x\right)t^2\\
1-x=t^2+xt^2\\
1-t^2=x+xt^2\\
x\left( 1+t^2\right)=1-t^2\\
x=\frac{1-t^2}{1+t^2}=\frac{-1-t^2+2}{1+t^2}=-1+\frac{2}{1+t^2}\\
\left(1+x\right)t=\frac{2t}{1+t^2}\\
\mbox{d}x =2 \cdot \left( -1\right)\left( 1+t^2\right)^{-2} \cdot 2t \mbox{d}t\\
\mbox{d}x =-\frac{4t}{\left( 1+t^2\right)^2 } \mbox{d}t\\
\int{\frac{8t^3}{\left( 1+t^2\right)^3 } \cdot \frac{\left( -4t\right) }{\left( 1+t^2\right)^2} \mbox{d}t}\\
=\int{\frac{-32t^4}{\left( 1+t^2\right)^5 } \mbox{d}t}}\)
\(\displaystyle{ \int{\sin^{5}{x} \mbox{d}x }\\
t=\tan{\frac{x}{2}}\\
\mbox{d}t= \frac{1}{2}\left( 1+t^2\right) \mbox{d}x\\
\mbox{d}x =\frac{2}{1+t^2} \mbox{d}t\\
\int{\frac{32t^5}{\left( 1+t^2\right)^5 } \cdot \frac{2}{1+t^2} \mbox{d}t}\\
\int{\frac{64t^5}{\left( 1+t^2\right)^6 } \mbox{d}t}\\}\)
\(\displaystyle{ \int \frac{\ln(x)}{\sqrt[3]{x}}dx\\
t=\ln{\left( x\right) }\\
x=e^{t}\\
\mbox{d}x =e^{t} \mbox{d}t\\
\int{te^{- \frac{1}{3} t} \cdot e^{t} \mbox{d}t }\\
\int{te^{ \frac{2}{3}t } \mbox{d}t}\\}\)
Jeśli znamy funkcję \(\displaystyle{ \Gamma}\) to możemy zastosować podstawienie skalujące i wyrazić
tę całkę niekompletną funkcją \(\displaystyle{ \Gamma}\)
Jeżeli nie znamy to łatwo można przewidzieć funkcję pierwotną podobnie jak to się robiło przy równaniach różniczkowych
W pozostałych całkach można użyć metody Ostrogradskiego którą skrótowo opisał luka52
viewtopic.php?t=79919
Czemu zaraz dla pałkoszy ?
Ciekawe jakie całki liczyłeś gdy uczyłeś się całkować
Jeśli chodzi o poziom trudności tych całek to jest on zbliżony do tych sprzed 6 lat
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11619
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3173 razy
- Pomógł: 754 razy
Całki dla smakoszy II
Następne są takie :
\(\displaystyle{ \int \frac{x^2+1}{x^4+1} dx}\)
\(\displaystyle{ \int \tg^3 (x) dx}\)
\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{\sin^3(x)}}\)
\(\displaystyle{ \int \frac{x^2+1}{x^4+1} dx}\)
\(\displaystyle{ \int \tg^3 (x) dx}\)
\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{\sin^3(x)}}\)
-
NogaWeza
- Użytkownik
- Posty: 1481
- Rejestracja: 22 lis 2012, o 22:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 147 razy
- Pomógł: 300 razy
Całki dla smakoszy II
2) \(\displaystyle{ \int_{}^{} \tg^n{x} dx = \int_{}^{} \tg^{n-2}{x} \tg^2{x}dx = \int_{}^{} \tg^{n-2}{x} \left ( \frac{1}{ \cos^2{x} } -1\right )dx =}\)
\(\displaystyle{ = \int_{}^{} \frac{\tg^{n-2}{x}}{ \cos^2{x}}dx - \int_{}^{} \tg^{n-2}{x} dx = \frac{1}{n-1}\tg^{n-1}{x} - \int_{}^{} \tg^{n-2}{x} dx}\)
W oparciu o ten wzór redukcyjny:
\(\displaystyle{ \int \tg^3 (x) dx = \frac{1}{2} \tg^2{x} - \int \tg{x} dx = \frac{1}{2} \tg^2{x} + \ln{| \cos{x}|} + C}\)
\(\displaystyle{ = \int_{}^{} \frac{\tg^{n-2}{x}}{ \cos^2{x}}dx - \int_{}^{} \tg^{n-2}{x} dx = \frac{1}{n-1}\tg^{n-1}{x} - \int_{}^{} \tg^{n-2}{x} dx}\)
W oparciu o ten wzór redukcyjny:
\(\displaystyle{ \int \tg^3 (x) dx = \frac{1}{2} \tg^2{x} - \int \tg{x} dx = \frac{1}{2} \tg^2{x} + \ln{| \cos{x}|} + C}\)
-
Nakahed90
- Użytkownik
- Posty: 9096
- Rejestracja: 11 paź 2008, o 22:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Pomógł: 1871 razy
Całki dla smakoszy II
Ad 1.
\(\displaystyle{ \frac{x^2+1}{x^4+1}=\frac{1}{2x^2+2\sqrt{2}x+2}+\frac{1}{2x^2-2\sqrt{2}x+2}=\frac{1}{(\sqrt{2}x+1)^2+1}+\frac{1}{(\sqrt{2}x-1)^2+1}}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ \int\frac{x^2+1}{x^4+1}dx=\frac{1}{\sqrt{2}}\int \left(\frac{\sqrt{2}}{(\sqrt{2}x+1)^2+1}+\frac{\sqrt{2}}{(\sqrt{2}x-1)^2+1}\right)dx=\frac{\sqrt{2}}{2}(\arctg (\sqrt{2}x+1)+\arctg(\sqrt{2}x-1))+C}\)
\(\displaystyle{ \frac{x^2+1}{x^4+1}=\frac{1}{2x^2+2\sqrt{2}x+2}+\frac{1}{2x^2-2\sqrt{2}x+2}=\frac{1}{(\sqrt{2}x+1)^2+1}+\frac{1}{(\sqrt{2}x-1)^2+1}}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ \int\frac{x^2+1}{x^4+1}dx=\frac{1}{\sqrt{2}}\int \left(\frac{\sqrt{2}}{(\sqrt{2}x+1)^2+1}+\frac{\sqrt{2}}{(\sqrt{2}x-1)^2+1}\right)dx=\frac{\sqrt{2}}{2}(\arctg (\sqrt{2}x+1)+\arctg(\sqrt{2}x-1))+C}\)
-
kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8596
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3357 razy
Całki dla smakoszy II
3)
\(\displaystyle{ ...=\int_{}^{} \frac{\sin x \mbox{d}x }{\sin ^4 x} =\int_{}^{} \frac{\sin x \mbox{d}x }{(1-\cos ^2 x)} =\left[ t= \cos x \right] =- \int \frac{1}{(t^2-1)^2} \mbox{d}t=}\)
\(\displaystyle{ = \frac{1}{4} \int \left( \frac{1}{t-1} -\frac{1}{(t-1)^2} -\frac{1}{t+1} -\frac{1}{(t+1)^2}\right) \mbox{d}t= \frac{1}{4}\left( \ln \left| \frac{\cos x -1}{\cos x +1}\right| + \frac{1}{\cos x -1} + \frac{1}{\cos x +1}\right)+\\+C}\)
\(\displaystyle{ ...=\int_{}^{} \frac{\sin x \mbox{d}x }{\sin ^4 x} =\int_{}^{} \frac{\sin x \mbox{d}x }{(1-\cos ^2 x)} =\left[ t= \cos x \right] =- \int \frac{1}{(t^2-1)^2} \mbox{d}t=}\)
\(\displaystyle{ = \frac{1}{4} \int \left( \frac{1}{t-1} -\frac{1}{(t-1)^2} -\frac{1}{t+1} -\frac{1}{(t+1)^2}\right) \mbox{d}t= \frac{1}{4}\left( \ln \left| \frac{\cos x -1}{\cos x +1}\right| + \frac{1}{\cos x -1} + \frac{1}{\cos x +1}\right)+\\+C}\)
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6910
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Całki dla smakoszy II
Jeśli chodzi o pierwszą całkę to proponuję przejrzeć temat
viewtopic.php?t=119936
Co do trzeciej całki
\(\displaystyle{ \int{\frac{\mbox{d}x}{\sin^{3}{x}}}=\int{\frac{\mbox{d}x}{8\sin^{3}{\left( \frac{x}{2} \right)\cos^{3}{\left( \frac{x}{2} \right) } }}}\\
=\int{ \frac{ \mbox{d}x }{8\tan^{3}{\left( \frac{x}{2} \right) }\cos^{6}{\left( \frac{x}{2} \right) }} }\\
=\int{ \frac{ \mbox{d}x }{8\tan^{3}{\left( \frac{x}{2} \right) }\cos^{4}{\left( \frac{x}{2} \right)\cos^{2}{\left( \frac{x}{2} \right) } }} }\\
\frac{1}{\cos^{2}{x}}=\frac{\cos^{2}{x}+\sin^{2}{x}}{\cos^{2}{x}}=1+\tan^2{x}\\
=\int{\frac{\left(1+\tan^{2}{\left( \frac{x}{2} \right) }\right)^2}{4\tan^{3}{\left( \frac{x}{2} \right) }} \cdot \frac{ \mbox{d}x }{2\cos^{2}{\left( \frac{x}{2} \right) }} }\\
t=\tan{\left( \frac{x}{2} \right) }\\
\mbox{d}t=\frac{1}{\cos^{2}{\left( \frac{x}{2} \right) }} \cdot \frac{1}{2}\mbox{d}x\\
\int{\frac{\left(1+t^2\right)^2}{t^3}\mbox{d}t}=\frac{1}{4}\left(\int{t \mbox{d}t}+2\int{ \frac{ \mbox{d}t}{t} }+\int{\frac{ \mbox{d}t}{t^3}}\right)\\}\)
viewtopic.php?t=119936
Co do trzeciej całki
\(\displaystyle{ \int{\frac{\mbox{d}x}{\sin^{3}{x}}}=\int{\frac{\mbox{d}x}{8\sin^{3}{\left( \frac{x}{2} \right)\cos^{3}{\left( \frac{x}{2} \right) } }}}\\
=\int{ \frac{ \mbox{d}x }{8\tan^{3}{\left( \frac{x}{2} \right) }\cos^{6}{\left( \frac{x}{2} \right) }} }\\
=\int{ \frac{ \mbox{d}x }{8\tan^{3}{\left( \frac{x}{2} \right) }\cos^{4}{\left( \frac{x}{2} \right)\cos^{2}{\left( \frac{x}{2} \right) } }} }\\
\frac{1}{\cos^{2}{x}}=\frac{\cos^{2}{x}+\sin^{2}{x}}{\cos^{2}{x}}=1+\tan^2{x}\\
=\int{\frac{\left(1+\tan^{2}{\left( \frac{x}{2} \right) }\right)^2}{4\tan^{3}{\left( \frac{x}{2} \right) }} \cdot \frac{ \mbox{d}x }{2\cos^{2}{\left( \frac{x}{2} \right) }} }\\
t=\tan{\left( \frac{x}{2} \right) }\\
\mbox{d}t=\frac{1}{\cos^{2}{\left( \frac{x}{2} \right) }} \cdot \frac{1}{2}\mbox{d}x\\
\int{\frac{\left(1+t^2\right)^2}{t^3}\mbox{d}t}=\frac{1}{4}\left(\int{t \mbox{d}t}+2\int{ \frac{ \mbox{d}t}{t} }+\int{\frac{ \mbox{d}t}{t^3}}\right)\\}\)