Matematyka.pl

Oblicz \(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \frac{\ln(x^2+y^2)}{ \sqrt{1+x+y} }dxdy}\)

A skąd wiesz, że tyle.

Niepokonana
Pewnie wklepał do kalkulatora albo innego Wolframa

Ja bym liczył całki iterowane, bez zamiany zmiennych z Jakobianem


\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \frac{\ln(x^2+y^2)}{ \sqrt{1+x+y} }dxdy}\)

Całkę
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \frac{\ln(x^2+y^2)}{ \sqrt{1+x+y} }dx}\)

proponowałbym liczyć przez części

\(\displaystyle{ u = \ln(x^2+y^2) \ \mbox{d}v = \frac{1}{ \sqrt{1+x+y} }\mbox{d}x\\
\mbox{d}u = \frac{2x}{x^2+y^2} \mbox{d}x, \ v = 2 \sqrt{1+x+y} \\
\int_{0}^{1} \frac{\ln(x^2+y^2)}{ \sqrt{1+x+y} }dx = 2\sqrt{1+x+y}\ln(x^2+y^2)\biggl|_{0}^{1} - 4\int\limits_{0}^{1}{\frac{x \sqrt{1+x+y} }{x^2+y^2}\mbox{d}x}\\
\int_{0}^{1} \frac{\ln(x^2+y^2)}{ \sqrt{1+x+y} }dx =2 \sqrt{2+y} \ln{\left( 1+y^2\right) }-4 \sqrt{1+y}\ln{\left( y\right) } -4\int\limits_{0}^{1}{\frac{x \sqrt{1+x+y} }{x^2+y^2}\mbox{d}x}\\
}\)

Teraz po podstawieniu \(\displaystyle{ u = \sqrt{1+x+y} }\)
otrzymamy całkę z funkcji wymiernej

Jeżeli chodzi o całkę \(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \frac{\ln(x^2+y^2)}{ \sqrt{1+x+y} }dx}\)
to nie jest ona trudna do policzenia choć obliczenie jej może prowadzić do żmudnych rachunków

Ciekawe czy obliczenie tej drugiej całki, tej po y będzie sprawiać trudności