Całka podwójna po obrzarze

Jestemfajny · Post autor: **Jestemfajny** » 13 cze 2008, o 17:32

\(\displaystyle{ \int\int_{D}\sqrt{R^{2}-x^{2}-y^{2}}dxdy}\)
\(\displaystyle{ D:\{(x,y):x^{2}+y^{2}0\}}\)
Nie chodzi mi o pelne rozwiozanie tylko raczej jak zamienic zmienne? zwykle biegunowe tutaj mogą byc?? czy musze byc przesuniete tak jak okrąg??

N4RQ5 · Post autor: **N4RQ5** » 13 cze 2008, o 18:14

Zwykłe współrzędne biegunowe powinny wystarczyć. Ta funkcja to jeśli dobrze widzę odległość od brzegu okręgu.

Przy podstawieniu nie zapomnij że masz całkować tylko po ćwiartce koła więc nie pomyl zakresu na kąt.

soku11 · Post autor: **soku11** » 14 cze 2008, o 01:23

Zostawiasz zmienne bez przesuwania. Jak je przesuniesz to powstanie ci brzydka calka, raczej nieelementarna :/ Dlatego proponuje tak:
\(\displaystyle{ \begin{cases}x=\rho\cos\varphi\\y=\rho\sin\varphi\end{cases}\\
|J|=\rho\\
\varphi\in[0;\pi]\\
x^2+y^2\leqslant Ry\\
\rho^2\leqslant R\rho\sin\varphi\\
\rho\leqslant R\sin\varphi\\
|V|=\int\limits_{0}^{\pi}\mbox{d}\varphi t\limits_{0}^{R\sin\varphi}\rho\sqrt{R^2-\rho^2}\mbox{d}\rho=\ldots}\)

POZDRO

Jestemfajny · Post autor: **Jestemfajny** » 14 cze 2008, o 13:49

a nie można poprostu tak:

\(\displaystyle{ \int^{\frac{1}{2}R}_{0}dr\int^{\pi}_{0}r\sqrt{R^{2}-r^{2}}d\phi}\)

???

soku11 · Post autor: **soku11** » 14 cze 2008, o 15:12

W moim jest maly blad, ale juz poprawilem. A ta twoja parametryzacja odnosi sie do podstawy kola w srodku (0,0) i promieniu \(\displaystyle{ \frac{1}{2}R}\) w pierwszej i drugiej cwiartce. Nasze kolo jest przesuniete. POZDRO