Matematyka.pl

Witajcie, potrzebuję waszej pomocy. Mam problem z całką: \(\displaystyle{ \int \frac{dz}{(z-\pi/2)^2cosz}}\) trzeba ją wykonać po okręgu o środku w punkcie \(\displaystyle{ \pi/2}\) i promieniu \(\displaystyle{ 1}\). Muszę skorzytać z wzouru Cauchy'ego (tego uogólnionego, bo biegun jest drugiego rzędu). Problem mam z tym, że mianownik się zeruje w obu czynnikach jak podstawię współrzędną środka. Nie wiem co z tym począć.

@edit
Może jakaś deformacja konturu?
Dzięki za pomoc.

To znaczy, że w rozwinięciu w szereg Laurenta wyrazy po potędze -2 znikają. Hmm... WolframAlpha pokazuje, że wyrazy zninką dopiero po -3 potędze. No tak, bo jeszcze cosinus jest. Tylko co dalej? No idea.

Wykonaj ten rachunek jak możesz, bo jakoś tego nie widzę.

Piszę z telefonu, więc trochę mi trudno przeprowadzać rachunki. Policzyłem na kartce korzystając z twierdzenia o residuach. Wyszło tyle ile powinno wyjść czyli \(\displaystyle{ - \pi i /3}\). Rachunek sprowadzał się do policzenia drugiej pochodnej funkcji \(\displaystyle{ \frac{z-\pi/2}{cosz}}\), a później wyznaczenia granicy, gdzie było więcej roboty bo korzystałem z twierdzenia L'Hospitala trzykrotnie żeby się pozbyć cosinusa z mianownika. Tak czy siak wynik wyszedł poprawny. Nie mogę zrozumieć jak to policzyć z twierdzenia Cauchy'ego. Jak doprowadzić funkcję podcałkową do postaci ze wzoru Cauch'yego? Rachunek pewnie nie jest skomplikowany.