całka oznaczona
-
ShedirAchird
- Użytkownik
- Posty: 109
- Rejestracja: 8 gru 2009, o 19:59
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Strzelce Opolskie
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 19 razy
całka oznaczona
Na pewno się gdzieś nie machnąłeś? Wygląda na nieelementarną (całka eliptyczna). Wystarczy jednak aby nawias i ułamek przed nim był w kwadracie, albo wewnątrz nawiasu suma zamiast różnicy, a będzie policzalna tradycyjnymi metodami, bez użycia funkcji specjalnych.
-
ShedirAchird
- Użytkownik
- Posty: 109
- Rejestracja: 8 gru 2009, o 19:59
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Strzelce Opolskie
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 19 razy
całka oznaczona
A no to sprawa prosta. Nie wiem, czy wiesz, co to są funkcje hiperboliczne, więc w tym przypadku są one bardzo ale to bardzo pomocne, w związku z tym drobny wykładzik...
\(\displaystyle{ \sinh a x= \frac{ e^{ax}-e^{-ax} }{2}}\)
To jest definicja sinusa hiperbolicznego. Kosinus przedstawia się analogicznie ze znakiem + między eksponentami. Mają szereg podobnych własności do funkcji trygonometrycznych, między innymi pochodną sinh x jest cosh x i odwrotnie (nie jak w przypadku funkcji tryg. gdzie zmienia się znak), istnieje zależność - do wykazania z definicji:
\(\displaystyle{ \cosh^2 x-\sinh^2 x=1}\) - tzw. jedynka hiperboliczna. Jeszcze gwoli analogii te funkcje są odpowiednio nieparzysta (sinh) oraz parzysta (cosh). Funkcje hiperboliczne definiują punkty hiperboli, funkcje trygonometryczne - koła. To tyle odnośnie wprowadzenia. Resztę poczytaj sam, bo to na prawdę przydatne w tego typu całkach.
a więc...
Najpierw trzeba policzyć nieoznaczoną, potem sobie już podstawisz granice i odejmiesz.
\(\displaystyle{ \int \sqrt{1+\frac{1}{4}(e^{\frac{x}{2}}-e^{-\frac{x}{2}})^2}dx=\int \sqrt{1+\sinh^2 \frac{x}{2}}dx}\)
Z jedynki hiperbolicznej:
\(\displaystyle{ \cosh^2 x=1+\sinh^2 x}\)
\(\displaystyle{ \int \sqrt{\cosh^2 \frac{x}{2} }dx=\int \cosh \frac{x}{2}dx}\) (można znieść kwadrat z pierwiastkiem, bo kosinus hiperboliczny jest zawsze dodatni - wynika to z def., bo jest sumą eksponent, a funkcja eksponencjalna jest zawsze dodatnia)
Ostatnia całka do policzenia na dwa sposoby: możesz skorzystać z tej własności, że:
\(\displaystyle{ \frac{d}{dx}\cosh x=\sinh x}\) i odwrotnie, więc są one też dla siebie funkcjami pierwotnymi, najpierw jeszcze proste podstawienie za to co pod funkcją, lub korzystasz z definicji kosinusa hiperbolicznego, a więc:
\(\displaystyle{ \cosh ax= \frac{e^{ax}+e^{-ax}}{2}}\)
wstawiasz pod całkę i liczysz po kolei. Na końcu odejmujesz w granicach i wsio.
\(\displaystyle{ \sinh a x= \frac{ e^{ax}-e^{-ax} }{2}}\)
To jest definicja sinusa hiperbolicznego. Kosinus przedstawia się analogicznie ze znakiem + między eksponentami. Mają szereg podobnych własności do funkcji trygonometrycznych, między innymi pochodną sinh x jest cosh x i odwrotnie (nie jak w przypadku funkcji tryg. gdzie zmienia się znak), istnieje zależność - do wykazania z definicji:
\(\displaystyle{ \cosh^2 x-\sinh^2 x=1}\) - tzw. jedynka hiperboliczna. Jeszcze gwoli analogii te funkcje są odpowiednio nieparzysta (sinh) oraz parzysta (cosh). Funkcje hiperboliczne definiują punkty hiperboli, funkcje trygonometryczne - koła. To tyle odnośnie wprowadzenia. Resztę poczytaj sam, bo to na prawdę przydatne w tego typu całkach.
a więc...
Najpierw trzeba policzyć nieoznaczoną, potem sobie już podstawisz granice i odejmiesz.
\(\displaystyle{ \int \sqrt{1+\frac{1}{4}(e^{\frac{x}{2}}-e^{-\frac{x}{2}})^2}dx=\int \sqrt{1+\sinh^2 \frac{x}{2}}dx}\)
Z jedynki hiperbolicznej:
\(\displaystyle{ \cosh^2 x=1+\sinh^2 x}\)
\(\displaystyle{ \int \sqrt{\cosh^2 \frac{x}{2} }dx=\int \cosh \frac{x}{2}dx}\) (można znieść kwadrat z pierwiastkiem, bo kosinus hiperboliczny jest zawsze dodatni - wynika to z def., bo jest sumą eksponent, a funkcja eksponencjalna jest zawsze dodatnia)
Ostatnia całka do policzenia na dwa sposoby: możesz skorzystać z tej własności, że:
\(\displaystyle{ \frac{d}{dx}\cosh x=\sinh x}\) i odwrotnie, więc są one też dla siebie funkcjami pierwotnymi, najpierw jeszcze proste podstawienie za to co pod funkcją, lub korzystasz z definicji kosinusa hiperbolicznego, a więc:
\(\displaystyle{ \cosh ax= \frac{e^{ax}+e^{-ax}}{2}}\)
wstawiasz pod całkę i liczysz po kolei. Na końcu odejmujesz w granicach i wsio.