Matematyka.pl

Obliczyć całkę niewłaściwą \(\displaystyle{ \int_{0}^{e} x^3 \ln x dx}\), jutro mam egzamin komisyjny być albo nie być na studiach, mam problemy z pewnymi zadaniami, wrzucam je do odpowiednich działów, z góry serdecznie z całego serca dziękuję za jakiekolwiek rozwiązania, pomoc, pozdrawiam wszystkich forumowiczów.

Przez części.
\(\displaystyle{ \int_{}^{} x ^{3} \cdot \ln x \mbox{d}x = \begin{vmatrix} u= \ln x \ \ \ v'=x ^{3} \\ u'= \frac{1}{x} \ \ \ v= \frac{1}{4} x ^{4} \end{vmatrix} = \frac{1}{4}x ^{4} \cdot \ln x - \frac{1}{4} \cdot \int_{}^{} x ^{3} \mbox{d}x = \frac{1}{4}x ^{4} \cdot \ln x - \frac{1}{16} x ^{4} + C}\)

Będzie problem z logarytmem, z def: liczba logarytmowana musi być większa od 0 \(\displaystyle{ \ln a, \ a>0}\)
\(\displaystyle{ \int_{0}^{e} x ^{3} \cdot \ln x \mbox{d}x = \frac{1}{16} x ^{4} \cdot \left( 4 \cdot \ln x -1\right) \left|_{0}^{e} = \frac{1}{16} e ^{4} \cdot \left( 4 \cdot \ln e -1\right) - \frac{1}{16} 0 ^{4} \cdot \left( 4 \cdot \ln 0 -1\right) = \frac{3}{16}e ^{4} - 0 \cdot \left( - \infty \right)}\)
Z symbolem nieoznaczonym musimy zaczekać, aż pojawi się ktoś mądrzejszy na forum.

Granic się nie podstawia w takim wypadku


\(\displaystyle{ \lim_{\varepsilon\to 0} \int_{\varepsilon}^{e} x^3 \ln x dx}\)

Po obliczeniu całki nieoznaczonej wstawiamy w granicach nie \(\displaystyle{ 0}\), a \(\displaystyle{ \varepsilon}\)...



edit: nie pokazuje, że \(\displaystyle{ \varepsilon}\) dązy do zera... Zaraz poszukam o tym, dlaczego.
edit2: mi wygląda to na całkę rozbieżną.

Tak formalnie, to powinieneś policzyć taką granicę: \(\displaystyle{ \lim_{\varepsilon\to 0^{+}} \int_{\varepsilon}^{e} x^3 \ln x \mbox{d}x}\). Niby szczegół, ale jednak.

spamer - zbieżna, policz granicę jak pokazał bartek118, ta granica jest równa \(\displaystyle{ 0}\).

Ajaj. To mamy w takim razie \(\displaystyle{ \frac{3}{16}e^4}\)...

spamer pisze:Ajaj. To mamy w takim razie \(\displaystyle{ \frac{3}{16}e^4}\)...

Zgadza się. Zrobiłeś gdzieś błąd scyth.

Mi się wydaje, że chyba miał na myśli część całki z \(\displaystyle{ \varepsilon}\)'em, a nie całą.