Całka niewłaściwa

exupery · Post autor: **exupery** » 11 kwie 2011, o 20:27

Jak formalnie uzasadnić zbieżność \(\displaystyle{ \int_{0}^{\infty}e^{t} sin(e^{2t})\mbox{d}t}\) oraz rozbieżność \(\displaystyle{ \int_{0}^{ \infty } xsinx}\)

przemk20 · Post autor: **przemk20** » 11 kwie 2011, o 20:43

\(\displaystyle{ x_n = \frac{\pi}{2} + 2n\pi \\
y_n = \frac{\pi}{2} + 2 n \pi}\)

exupery · Post autor: **exupery** » 11 kwie 2011, o 20:58

a zbieżność?

przemk20 · Post autor: **przemk20** » 11 kwie 2011, o 22:50

\(\displaystyle{ e^{-t} sin(e^{2t}) < e^{-t}}\)

exupery · Post autor: **exupery** » 12 kwie 2011, o 18:40

no ale jak mogę użyć kryterium porównawczego do całki o wyrazach i dodatnich, i ujemnych?
Chyba, że ten minus przy \(\displaystyle{ e^t}\) ma jakieś uzasadnienie, bo nie widzę w tym momencie o co Ci chodzi

przemk20 · Post autor: **przemk20** » 12 kwie 2011, o 20:57

Szacuje ogon:
\(\displaystyle{ \left| \int_N^{\infty} e^{-t} cos(e^{2t}) dt \right| \le \int_N^{\infty} |e^{-t} cos(e^{2t}) |dt \le
\int_N^{\infty} e^{-t} dt = e^{-N} (N \rightarrow \infty ) \rightarrow 0.}\)

exupery · Post autor: **exupery** » 12 kwie 2011, o 22:24

ale mamy \(\displaystyle{ \int_{0}^{\infty}e^{t} sin(e^{2t})\mbox{d}t}\), więc co nam daje zbieżność \(\displaystyle{ \int_{0}^{\infty}e^{-t} sin(e^{2t})\mbox{d}t}\) ?

luka52 · Post autor: **luka52** » 12 kwie 2011, o 22:30

\(\displaystyle{ \int_{0}^{\infty}e^{t} \sin e^{2t} \mbox{d}t \stackrel{x = e^{2t}}{=} \frac{1}{2} \int_1^{+\infty} \frac{\sin x}{\sqrt{x}} \; \mbox d x = \left[ \frac{- \cos x}{\sqrt{x}} \right]_1^{+\infty} + \frac{1}{4} \int_1^{+\infty} \frac{\cos x}{x \sqrt{x}} \; \mbox d x < \infty}\)